середа, 5 грудня 2018 р.

1.2 Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики. 11 клас

Тренувальні онлайн-тести  з теми  "Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики".

Тренувальний модуль М_11.121. Комбінаторні правила суми і добутку:

Тренувальний модуль М_11.122. Перестановки. Розміщення. Комбінації.:

Тренувальний модуль М_11.123. Елементи теорії ймовірностей.:

Тренувальний модуль М_11.124. Елементи математичної статистики.:

 Інтегрований модуль з теми "1.2 Елементи теорії ймовірностей і математичної статистики" опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій  загального доступу.

 Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення , щодо тестових завдань у яких можливо допущено помилку , не цілком  зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування.Для цього достатньо вказати номер  тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування.  Після  перевірки запиту це питання обов'язково буде  розглянуто і проблемне  завдання  публічно прокоментовано.

43 коментарі:

  1. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 12 з модуля 112.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.121. Комбінаторні правила суми та добутку. Завдання 12.

      Скількома способами можна вибрати пару гральних кісточок з стандартного набору доміно так, щоб вони не мали спільних «чисел» ? (Зображення «порожньо» на кісточці вважати числом «нуль»).

      Доброго вечора !
      Можливо, тут мався на увазі модуль 121, бо модуль 112 у данім блоці відсутній.

      Нагадаю, що стандартний набір доміно складається з 28 кісточок, серед яких 7 «дублів»: 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6 і 0-0 , та 21 «суміжна» гральна кістки: 0-1, 0-2, 0-3, 0-4, 0-5, 0-6, 1-2, 1-3, 1-4, 1-5, 1-6 … і т.д .

      Зауважимо, що порядок запису цифр не має значення. Тобто, наприклад, 0-1, і 1-0 – це одна гральна кісточка записана у різний спосіб.

      Ця особливість набору доміно потребує умовно розділити кісточки доміно на дві групи: «дублі» і «суміжні». У групі «суміжні» , для кожної гральної кісточки можна підібрати десять кісточок, які мають з нею спільних чисел.

      Наприклад, для кісточки 3-5 : 3-0, 3-1, 3-1, 3-4, 3-5, 3-6 та 5-0, 5-1, 5-2, 5-3, 5-4, 5-6.

      Отже, десять інших, що залишилися, не мають з нею спільних чисел. Загальна кількість можливих випадків: (21 • 10) : 2 = 105.

      Тепер залишилося з’ясувати кількість таких пар в групі «дублів» та кількість пар при виборі з різних груп. Пропоную здійснити це самостійно.

      Видалити
  2. Доброго вечора. Перегляньте, будь-ласка, завдання 10 з модуля 112. На мою думку, там помилка в умові.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Дійсно, там зайвою була умова: "у відповідь запиши результат округлений до тисячних". Відредагував. Щиро дякую !

      Видалити
  3. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 11 з модуля 123.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.123. Елементи теорії ймовірностей. Завдання 11.

      Команду із двох дівчат і чотирьох хлопців запрошують сісти за круглий стіл у довільному порядку. Яка ймовірність того, що дівчата сядуть поруч ?

      Доброго вечора !
      Розглянемо спрощений варіант задачі, а саме, коли дана команда шикується у шеренгу. Знайдемо ймовірність того, що дівчата опиняться поруч.

      Обчислюємо загальну кількість можливих випадків шикування у шеренгу шести чоловік:
      $$n={{P}_{6}}=6!=720.$$
      Знаходимо сприятливі для нас випадки – дівчата поруч. Для цього умовно об’єднаємо їх у ціле, з врахуванням того, що в кожному з випадків можлива їх внутрішня перестановка:
      $$m={{P}_{2}}\cdot {{P}_{5}}=2!\cdot 5!=2\cdot 120=240.$$
      І нарешті ймовірність нашої події з точністю, скажімо, до 0,01.
      $$p=\frac{m}{n}=\frac{240}{720}=\frac{1}{3}=0,333...\approx 0,33.$$
      А тепер з’ясуємо у чому істотна відмінність запропонованого варіанту від спрощеного. У ньому потрібно додати окремий випадок, коли дівчата знаходяться по краях, бо в ситуації «круглого столу» це означатиме, що вони сидітимуть поруч.

      Але це вже самостійно…

      Видалити
    2. Доброго вечора. Все те, що ви пояснили я зробила сама. Поясніть будь ласка кінцівку завдання.

      Видалити
    3. Доброго вечора !

      Якщо дівчата знаходяться "скраю", то четверо хлопців можуть сісти між них 4! = 24 способами, а якщо дівчат поміняти місцями, то появиться ще 24 способи. Тобто загальна кількість способів цього підвипадку: 2!*4!= 2*24=48.

      Отже, сумарна кількість сприятливих способів в умовах "круглого" столу зростає до 240 + 48 = 288 способів.

      А обчислення ймовірності, даруйте, залишаю на домашнє завдання :).

      Видалити
  4. Доброго вечора. Перевірте, будь ласка, 8 завдання з модуля 122.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.122. Перестановки. Переміщення. Комбінації. Завдання 8.

      У розклад одного дня входять алгебра, хімія, біологія, фізкультура, географія. У кожному з випадків вкажи кількість способів, за допомогою яких можна розмістити навчальні предмети так, щоб …

      1.алгебра не була останнім уроком ;
      2.географія була першим уроком ;
      3.фізкультура не була першою чи останньою в списку ;
      4. хімія і біологія знаходились поруч ;

      Варіанти відповідей: А) 24 ; Б) 48 ; В) 72 ; Г) 96 .

      Доброго вечора !
      Перевірив. Якби усе гаразд. Можна уточнити, що саме викликає сумніви ?

      Видалити
  5. Доброго дня в завданні 7 модуля 123 помилка тому, що в умові немає коричневих олівців там дише сині, жовті, зелені і червоні тому там нереально витягнути коричневий олівець

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.123. Елементи теорії ймовірностей. Завдання 7.

      У коробці 5 червоних, 5 синіх, 5 зелених і 5 жовтих олівців. Навмання з коробки витягують олівець.

      Розмісти задані події в порядку зростання їх ймовірностей:
      1. витягли жовтий олівець;
      2. витягли зелений або синій олівець;
      3. витягли коричневий олівець;
      4. витягли не червоний олівець;

      Доброго дня !
      Цілком погоджуюся з тим, що «там нереально витягнути коричневий олівець». Але для теорії ймовірностей немає нічого неможливого, тобто така «помилка» класифікується як неможлива подія, а ймовірність її здійснення прирівнюється до нуля . Отже, з умовою усе гаразд !

      З врахуванням порядку зростання ймовірностей подій, цю - «витягли коричневий олівець » - ставимо на перше місце, а далі визначаємо ймовірність інших подій.

      Видалити
  6. Доброго вечора! Поячніть будь-ласка завдання 10 модуль 122.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.122. Перестановки. Переміщення. Комбінації. Завдання 10.

      Комплексна будівельна бригада складається з двох мулярів, трьох штукатурів і одного столяра. Скількома способами можна утворити комплексну будівельну бригаду з робочого колективу у якому 15 малярів, 10 штукатурів і 5 столярів ?

      Доброго вечора !
      Тут звичайні комбінації 2 з 5 , 3 з 10 і 1 з 5 , для яких потрібно застосувати правило добутку.

      Іншими словами знайти значення виразу:
      $$C_{15}^{2}\cdot C_{10}^{3}\cdot C_{5}^{1}$$

      Видалити
  7. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 12 з модуля 122.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.122. Перестановки. Переміщення. Комбінації. Завдання 12.

      Скільки різних дільників має число 2310 ?

      Доброго вечора !
      Чудовий приклад на застосування комбінаторики на практиці.
      Розкладемо дане число на прості множники (6 клас):
      $$2310=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11$$
      Інші дільники можна одержувати як добутки простих множників по два, по три….Врахувавши ще одиницю і саме число отримуємо:
      $$C_{5}^{0}+C_{5}^{1}+C_{5}^{2}+C_{5}^{3}+C_{5}^{4}+C_{5}^{5}$$

      Видалити
    2. Я роблю, так як ви кажете, але в мене все одно виходить не правильно.

      Видалити
    3. Проблеми з арифметикою !?
      Можна подивитися в рекомендованому збірнику ""Елементи комбінаторики , 11 клас" (посилання в інтернет ресурсах) там є розв'язок і відповідь.

      Видалити
  8. Доброго вечора! Перевірте будь-ласка завдання 11 модуль 122.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.122. Перестановки. Переміщення. Комбінації. Завдання 11.

      Серед членів шахового гуртка три дівчини і п’ять хлопців. Для участі в змаганнях необхідно вибрати команду із чотирьох осіб, в яку повинна входити хоча б одна дівчина. Скількома способами це можна зробити ?

      Доброго вечора !
      Перевірив. Усе гаразд. Якщо буде потреба дати пояснення до завдання, дайте про це знати окремо.

      Видалити
    2. Отже, поясніть будь-ласка це завдання.

      Видалити
    3. Якщо не зупинятися на деталях, то вираз для знаходження кількості способів матиме вигляд:
      $$C_{3}^{1}\cdot C_{5}^{3}+C_{3}^{2}\cdot C_{5}^{2}+C_{3}^{3}\cdot C_{5}^{1}$$

      Видалити
  9. Доброї ночі! Поясніть будь-ласка завдання 6 модуль 123.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_11.123. Елементи теорії ймовірностей. Завдання 6.

      У сім’ї двоє дітей. Які з поданих подій є однаково ймовірними ?
      А) У сім’ї один хлопчик.
      Б) У сім’ї лише хлопчики.
      В) У сім’ї немає хлопчика.
      Г) У сім’ї є хоча б один хлопчик.

      Доброго ночі !
      Ох, ці хлопці !
      Насправді завдання доволі просте.
      Можливі лише чотири варіанти: Х-Х, Х-Д, Д-Х, Д-Д.
      Відповідно і ймовірності
      $$\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\text{ }\frac{1}{4},\text{ }\frac{1}{4},\text{ }\frac{3}{4}.$$

      Отже події «у сім’ї лише хлопчики» і «у сім’ї немає хлопчика» - однаково ймовірні.

      Видалити
  10. Доброї ночі! Поясніть будь-ласка завдання 12 з модуля 124.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Давайте його відкладімо на завтра. Недарма кажуть, що ранок мудріший від вечора, а від ночі і подавно.

      Спокійної ночі !

      Видалити
    2. Тренувальний модуль А_11.124. Елементи математичної статистики. Завдання 12.

      Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізали на 64 однакових кубики. З них утворили впорядкований ряд даних за кількістю пофарбованих граней: 0 граней, 1 грань, 2 грані, 3 грані. Знайди медіану і середнє значення такої вибірки. У відповідь запиши добуток значень медіани і середнього значення.

      З допомогою малюнка (або без нього) з'ясовуємо скільки яких кубиків:

      З трьома пофарбованими гранями (на вершинах) - 8 ;
      З двома пофарбованими гранями (на ребрах) - 12*2=24;
      З однією пофарбованою гранню (в серединах граней) - 6*4 =24 ;
      А решта 64-(8+24+24)= 8 нефарбовані.

      Маємо нескладну вибірку:
      0 - 8, 1 -24, 2- 24, 3 - 8 .

      Знаходимо її медіану та середнє значення і у відповідь записуємо їх добуток.

      Видалити
  11. Доброго вечора! Перевірте будь-ласка завдання 1 з модуля 124

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Перевірив і виправив. Тепер вже впорядкована.
      Дякую !

      Видалити
  12. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 9 модуль 124.На мою думку, там можна дивитися з різних сторін на моду з вибірки #2.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора!
      Особливість вибірка №2 (4-3-6-1-3-6) в тому, що вона має дві моді 3 і 6. Їх обидві потрібно враховувати при знаходженні середнього значення мод.В даному завданні варто звернути увагу і на вибірку №3 ( 6-1-4-3-2-5), у якої мода відсутня.

      Видалити
  13. Перевірте будь ласка завдання 8 з модуля 123.

    ВідповістиВидалити
  14. Доброї ночі! Поясніть будь ласка завдання 11 з модуля 11.123 більш детально.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго дня !
      Під "більш детально" мається на увазі фрагмент із коментаря №2 " окремий випадок, коли дівчата знаходяться по краях, бо в ситуації «круглого столу» це означатиме, що вони сидітимуть поруч " ?

      Якщо дівчата по краях, тоді четверо хлопців - поруч. За правилом добутку 2!*4! = 2*24 = 48.

      Видалити
  15. Добрий вечір!Поясніть будь ласка завдання 12 з модуля 11.123.Дякую!

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.123. Елементи теорії ймовірностей. Завдання 12.

      Одночасно підкидають три гральних кубики. Знайди ймовірність того, що добуток чисел, які випали на їх верхні грані, буде непарним числом.

      Добрий вечір!

      На верхній грані кожного кубика може випасти одне з шести чисел : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6. Для трьох кубиків використовуємо правило добутку:
      $$n=6\cdot 6\cdot 6={{6}^{3}}.$$
      Щоб добуток чисел був непарним необхідно, щоб усі числа, які випали на верхніх гранях були непарними, бо якщо хоча б одне з чисел виявиться парним, тоді і добуток буде парним. Отже, нам підходять числа 1 – 3 – 5. Як і в попередньому випадку кількість таких способів з’ясовуємо правилом добутку.
      $$m=3\cdot 3\cdot 3={{3}^{3}}.$$
      І фінальний момент:
      $$p=\frac{m}{n}=\frac{{{3}^{3}}}{{{6}^{3}}}={{\left( \frac{3}{6} \right)}^{3}}={{\left( \frac{1}{2} \right)}^{3}}=\frac{1}{8}=0,125. $$

      Видалити
  16. Доброго вечора! Поясніть будь ласка завдання 11 з модуля 11.124.
    Дякую!

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.124. Елементи теорії ймовірностей. Завдання 11.

      На круговій діаграмі зображено рівні навчальних досягнень учнів 11 класу, які проходили тестування з математики. Відомо, що середнє значення оцінок початкового рівня становило 2,5, середнього – 5, достатнього – 7,5. Знайди середнє значення оцінок високого рівня, якщо середнє значення оцінок усіх 20 учнів класу становило 6,75.

      Доброго вечора !
      За допомогою діаграми і математичних правил визначаємо кількість учнів для кожного рівня навчальних досягнень. Наприклад, для початкового : 20 : 100 * 10 = 2 . Аналогічно і для інших рівнів.

      Наступне, якщо середнє значення оцінок початкового рівня становило 2,5, а кількість учнів 2 то сумарна кількість набраних балів початкового рівня складає: 2 * 2,5 = 5. Аналогічно визначаємо і для інших рівнів, окрім - високого.

      Оскільки середнє значення оцінок усіх 20 учнів класу становило 6,75, то загальна сума набраних балів складає 20 * 6,75 = 135.

      Тепер, щоб знайти середнє значення оцінок високого рівня, залишилося від загальної суми балів відняти суми балів початкового, середнього, достатнього рівнів і знайдений результат поділити на кількість учнів , що пройшли тестування на високий рівень.

      А далі, як кажуть, бачу ціль – не бачу перешкод.

      Видалити