середа, 12 грудня 2018 р.

2.2 Тіла обертання. 11 клас

Тренувальні онлайн-тести  з теми  "Тіла обертання".

Тренувальний модуль М_11.221. Циліндр і його поверхня:

Тренувальний модуль М_11.222. Конус і його поверхня:

Тренувальний модуль М_11.223. Куля і її поверхня.:

Тренувальний модуль М_11.224. Комбінації геометричних тіл:

 Інтегрований модуль з теми "2.2 Тіла обертання, 11 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій  загального доступу.

 Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення , щодо тестових завдань у яких можливо допущено помилку , не цілком  зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування.Для цього достатньо вказати номер  тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування.  Після  перевірки запиту це питання обов'язково буде  розглянуто і проблемне  завдання  публічно прокоментовано.

31 коментар:

  1. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 10 з модуля 211.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.211. Циліндр та його поверхня. Завдання 10.

      Площа повної поверхні циліндра вдвічі більша від площі його бічної поверхні, а діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює 5 см. Знайди площу повної поверхні циліндра.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах квадратних та округлене з точністю до цілих

      І Вам доброго вечора !
      Прикро, але в задачу вкрапилося помилкове «втричі». Виправив на «двічі» і тепер щодо пояснень...

      Візьмемо до уваги те, що висота циліндра H дорівнює його твірній L, а повна поверхня циліндра вдвічі більша від його бічної поверхні. Тобто маємо:
      $$\begin{align}
      & {{S}_{n}}=2{{S}_{b}}, \\
      & \pi R(R+L)=2\pi RL, \\
      & R+L=2L, \\
      & R=L. \\
      \end{align}$$
      Отже, радіус основи циліндра дорівнює його твірній.
      Враховуючи те, що осьовим перерізом циліндра є прямокутник, суміжні сторони якого утворюють діаметр основи і твірна, маємо таку рівність:
      $$\begin{align}
      & {{(2L)}^{2}}+{{L}^{2}}={{5}^{2}}, \\
      & 5{{L}^{2}}=25, \\
      & {{L}^{2}}=5, \\
      & L=\sqrt{5}. \\
      \end{align}$$
      В підсумку отримуємо, що
      $$R=L=\sqrt{5}.$$
      А далі суто технічний момент – обчислення площі поверхні циліндра .

      Видалити
    2. Доброго вечора! Перевірте будь-ласка чи ви вірно вели відповідь.

      Видалити
    3. Доброго вечора !
      Уже виправив... Шкода, бо при проходженні тесту вказано правильну відповідь. Там фактично мало бути "12".

      Видалити
  2. Добрий вечір! Перевірте будь ласка завдання 8 з модуля 11.212

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Хотілося би конкретики, бо помилок там я не знайшов.

      Видалити
  3. Доброго вечора! Перевірте будь-ласка завдання 4 з модуля 212.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Дякую. Виправив.
      зверніть увагу на зміни в нумерації модулів.

      Видалити
  4. Добрий вечір! Поясніть будь ласка задачу 9 з модуля 11.212.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.222. Конус та його поверхня. Завдання 9.

      Осьовим перерізом конуса є прямокутний рівнобедрений трикутника, площа якого дорівнює 32 см2 . Знайди площу перерізу конуса площиною, яка проходить через дві його твірні, кут між якими дорівнює 30º .

      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах квадратних.

      Доброго вечора !
      Ще раз прошу звернути увагу на вимушену зміну нумерації в навчальних модулях. Відтепер потрійна нумерація тренувального модуля означатиме: перша цифра – частина курсу «Математики, 11 клас» ( 1 - «алгебра», 2 – «геометрія») , друга цифра – номер розділу , третя цифра – номер теми.

      Щодо нашої задачі. До даного завдання додано рисунок, який варто мати під рукою при зчитуванні коментаря. Те, що «осьовим перерізом конуса є прямокутний рівнобедрений трикутник» дає змогу знайти катет трикутника, який для конуса виявиться твірною:
      $$\begin{align}
      & S=\frac{1}{2}{{a}^{2}}, \\
      & a=\sqrt{2S}=\sqrt{2\cdot 32}=\sqrt{64}=8. \\
      \end{align}$$

      Площу іншого перерізу (з кутом 30 градусів між твірними) знаходимо за формулою:
      $$S=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\sin \alpha.$$
      Процес обчислення і округлення, сподіваюся, не буде обтяжливим.

      Видалити
  5. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 11 модуль 212.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.222. Конус та його поверхня. Завдання 11.

      Півкруг, радіус якого дорівнює 12 см, згорнули в конус. Знайди площу основи утвореного конуса (вважати, що π = 3,14 ).
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах квадратних.

      Доброго вечора !
      Нам варто взяти до уваги те, що при згортанні півкруга, радіус півкруга стає твірною конуса, а довжина дуги півкруга – довжиною основи конуса. До цього завдання умисно додаються геометричні ілюстрації , щоб мати змогу це «прочути» на практиці. А далі суто технічні моменти.

      Видалити
  6. Доброго вечора! Прохання перевірити завдання 8 модуль 223. На мою думку, там помилка в умові, а саме у задачі із трикутником не вистачає виду трикутника.

    ВідповістиВидалити
  7. Доброго вечора поясніть будь-ласка завдання 10 модуль 223.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.223. Куля і її поверхня. Завдання 10.

      Куля, площа поверхні якої дорівнює 432π см2 , дотикається до граней двогранного кута, градусна міра якого дорівнює 120º . Знайди відстань від центра сфери до ребра двогранного кута.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.

      Доброго вечора !
      Моцне завдання ! Думаю, що без добротного рисунка нам не обійтися. В цьому графічному зображенні ( кулі і двогранного кута) проводимо площину, що проходить через центр кулі і перпендикулярна до ребра двогранного кута. В цій площині проводимо відрізок, який з’єднує центр кулі з ребром кута і представляє «відстань від центра сфери до ребра двогранного кута». Модель для розв’язку завдання готова !

      Це і є найбільш відповідальним моментом в розв’язуванні задачі. Звісно, що достатньо побудувати лише переріз з усіма вказаними елементами, але тут потрібно чітко уявляти що є чим.

      На даній моделі чітко викристалізовується два рівних прямокутних трикутники зі спільною гіпотенузою, а з іншого боку два рівнобедрених трикутники зі спільною основою, один з яких ще й рівносторонній. Цього цілком достатньо для знаходження відстані від центра кулі до ребра двогранного кута за умови коли відомий радіус кулі. Останній «витягуємо» з площі поверхні кулі:
      $$\begin{align}
      & S=4\pi {{R}^{2}}, \\
      & 432\pi =4\pi {{R}^{2}}, \\
      & 108={{R}^{2}}, \\
      & R=\sqrt{108}=6\sqrt{3}. \\
      \end{align}$$

      Видалити
  8. Доброго вечора! Прохання перевірити завдання 11 модуля 223. На мою думку, там помилка в умові, адже відстань між двома паралельними перерізами кулі радіусів 9 і 12 дорівнює 3 корінь з 7, а не 3.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.223. Куля і її поверхня. Завдання 11.

      Перерізи кулі двома паралельними площинами, що знаходяться по один бік від центра кулі , мають площі 81π см2 і 144π см2. Знайди радіус кулі, якщо відстань між даними площинами дорівнює 3 см.

      У відповідь запиши значення величини вираженої у сантиметрах.

      Доброго вечора !
      Мається на увазі, що проблемним у даному завданні є пункт: «дорівнює 3 корінь з 7, а не 3» ? Не зовсім розумію чим викликані такі міркування ? По-перше, це втручання в умову завдання, а по-друге, який сенс таких змін ?

      Для коректного розв’язування задачі потрібно виконати малюнок , ввести змінну х і скласти співвідношення для двох прямокутних трикутників у яких рівні гіпотенузи. А помилку в умові задачі я не побачив…

      Видалити
  9. Доброї ночі! Поясніть будь ласка задачу 10 з модуля 11.222.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.222. Конус і його поверхня. Завдання 10.

      Діаметри основ зрізаного конуса дорівнюють 1,4 дм і 3 дм, а площа його повної поверхні – 4,94π дм2. Знайди висоту конуса.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у дециметрах.

      Доброго вечора !
      1. Введемо такі позначення:
      R – радіус більшої основи зрізаного конуса;
      r – радіус меншої основи зрізаного конуса;
      L– твірна зрізаного конуса;
      H – висота зрізаного конуса;
      Sn – площа повної поверхні зрізаного конуса;
      Sb – площа бічної поверхні зрізаного конуса.

      Очевидно, що R = 3 : 2 = 1,5 дм, r = 1,4 : 2 = 0,7.
      Знаходимо площу бічної поверхні конуса:
      $${{S}_{b}}={{S}_{n}}-(\pi {{R}^{2}}+\pi {{r}^{2}})={{S}_{n}}-({{R}^{2}}+{{r}^{2}})\pi. $$
      $${{S}_{b}}=4,94\pi -({{1,5}^{2}}+{{0,7}^{2}})\pi =2,2\pi. $$
      Знаходимо твірну конуса:
      $${{S}_{b}}=(R+r)L\pi. $$
      $$L=\frac{{{S}_{b}}}{(R+r)\pi }=\frac{2,2\pi }{\left( 1,5+0,7 \right)\pi }=1.$$
      Далі використовуємо малюнок доданий до завдання. На ньому розглядаємо рівнобічну трапецію, що є осьовим перерізом зрізаного конуса і у якої діаметри – основи, твірні – бічні сторони. Цих умов цілком достатньо, щоб знайти висоту трапеції, яка одночасно буде і висотою зрізаного конуса. І цей шлях проходимо самостійно.

      Видалити
  10. Доброго дня! Поясніть будь ласка задачу 11 з модуля 11.221.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.221. Циліндр і його поверхня. Завдання 11.

      Із квадрата, площа якого дорівнює 8π дм2 , згорнута поверхня циліндра. Знайди площу основи даного циліндра.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене дециметрах квадратних.

      Доброго вечора !
      Нестандартна задача і ,можливо, тим і цікава…

      Нехай Sk – площа квадрата, a – сторона квадрата, C – довжина кола основи циліндра, r – радіус кола основи, So – площа основи циліндра.

      1. За відомою площею квадрата
      $${{S}_{k}}={{a}^{2}}:$$
      знаходимо його сторону:
      $$a=\sqrt{{{S}_{k}}}=\sqrt{8\pi }=2\sqrt{2\pi }.$$
      2. З врахуванням того, що при згортанні квадрата в циліндр одна з його сторін стає твірною, а інша довжиною основи:
      $$a=C,\text{ }C=2\pi r: $$
      $$r=\frac{a}{2\pi }=\frac{2\sqrt{2\pi }}{2\pi }=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}=\sqrt{\frac{2}{\pi }}.$$
      3. І знаходимо площу основи :
      $${{S}_{o}}=\pi {{r}^{2}}=\pi \cdot {{\left( \sqrt{\frac{2}{\pi }} \right)}^{2}}=\pi \cdot \frac{2}{\pi }=2.$$

      Видалити
  11. Доброго вечора! Перевірте будь-ласка завдання 6 модуль 224. Я вважаю, що у вас помилка в обчисленнях. Адже лише радус дорівнює 6 см, але одна відповідь не підходить. Та значення діаметра та твірної будуть рівні, проте значення їх довжини буде дорівнювати 12 см.

    ВідповістиВидалити
  12. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 7 модуль 224.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Дана задача зводиться до визначення виду трикутника, який одержується з діагоналі основи піраміди і двох її бічних сторін.
      Якщо трикутник прямокутний - на основі піраміди;
      Якщо трикутник гострокутний- всередині піраміди;
      Якщо трикутник тупокутний- поза пірамідою;

      Видалити
  13. Доброго вечора! Перевірте будь-ласка завдання 10 можуль 224. На мою думку там помилка в кінцевому результаті.

    ВідповістиВидалити
  14. Доброго дня. Перевірте будь ласка чи правильно введена відповідь в завдані 10 з модуля 214.

    ВідповістиВидалити
  15. Доброго вечора !
    Якщо мається на увазі модуль 224 то його відредагував і там уже відповідь правильна.

    ВідповістиВидалити