пʼятниця, 4 січня 2019 р.

2.2 Перпендикулярність прямих і площин. 10 клас

Тренувальні онлайн-тести  з теми  "Перпендикулярність прямих і площин".

Тренувальний модуль М_10.221 Перпендикулярність прямої і площини:

Тренувальний модуль М_10.222 Перпендикуляр і похила до площини:

Тренувальний модуль М_10.223 Теорема про три перпендикуляри:

Тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини:

Інтегрований модуль з теми "2.2 Перпендикулярність прямих і площин.10 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій  загального доступу.

Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення,  щодо тестових завдань, у яких можливо допущено помилку , не цілком  зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування. Для цього достатньо вказати номер  тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування.  Після  перевірки запиту це питання обов'язково буде  розглянуто і проблемне  завдання  публічно прокоментовано.

28 коментарів:

  1. Доброго вечора!
    Допоможыть зробити тренувальний модуль М-10.221 Перпендикулярність прямої і площини.Завдання 11

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.221. Перпендикулярність прямої і площини. Завдання 11

      Пряма SF перпендикулярна до площини правильного шестикутника MKFPHL. Знайди периметр шестикутника, якщо SL = 6√5 см, SH = 12 см.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.

      Доброго вечора !
      При розв’язуванні даного завдання доречно використовувати малюнок, що додається до даного завдання, оскільки опублікувати його в коментарях можливості немає.

      Нехай у шестикутнику MKFPHL сторона FP= х, тоді його діагоналі FL = 2х, а FH = √3х . Зв'язок сторони з діагоналями легко встановити пригадавши, наприклад, що більша діагональ шестикутника є діаметром кола описаного навколо шестикутника, а радіус кола дорівнює стороні шестикутника. Меншу ж діагональ шестикутника можна визначити з трикутника FPH використавши теорему косинусів.

      Тепер розглянемо прямокутні трикутники SFL і SFH з спільним катетом SF.
      $$\begin{align}
      & \Delta SFL: \\
      & S{{F}^{2}}=S{{L}^{2}}-F{{L}^{2}}={{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}=180-4{{x}^{2}}. \\
      \end{align}$$
      $$\begin{align}
      & \Delta SFH: \\
      & S{{F}^{2}}=S{{H}^{2}}-F{{H}^{2}}={{12}^{2}}-{{\left( \sqrt{3}x \right)}^{2}}=144-3{{x}^{2}}. \\
      \end{align}$$
      На основі цих зв’язків утворюємо рівняння:
      $$\begin{align}
      & 144-3{{x}^{2}}=180-4{{x}^{2}}, \\
      & 4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}=180-144, \\
      & {{x}^{2}}=36, \\
      & x=6. \\
      \end{align}$$
      А далі уже не складно, гадаю, дібратися до периметра шестикутника…

      Видалити
  2. Доброго вечора!
    Допоможыть зробити тренувальний модуль М-10.221 Перпендикулярність прямої і площини.Завдання 12

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.221. Перпендикулярність прямої і площини. Завдання 12.

      Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють √65 см, √17 см, 4√5 см . Знайди довжину діагоналі паралелепіпеда.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.

      Доброго вечора !
      Як щодо прямокутного паралелепіпеда з діагоналями граней 5 см, 4√10 см , 3√17 см ? Якщо немає заперечень - то усе гаразд ! Припускаємо, що a, b, c – виміри прямокутного паралелепіпеда. Тоді сума квадратів попарно взятих вимірів дорівнює квадратам діагоналей граней :
      $$\begin{align}
      & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{5}^{2}}=25, \\
      & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 4\sqrt{10} \right)}^{2}}=400, \\
      & {{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 3\sqrt{17} \right)}^{2}}=153. \\
      \end{align}$$
      Додамо почленно ці три рівності:
      $$({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})\cdot 2=25+160+153=338,$$
      З врахуванням того факту, що сума квадратів вимірів прямокутного паралелепіпеда дорівнює квадрату діагоналі, знаходимо:
      $$\begin{align}
      & ({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=338:2=169, \\
      & {{d}^{2}}=169, \\
      & d=13. \\
      \end{align}$$

      Аналогічно проводимо дослідження і для наших діагоналей.

      Видалити
  3. Доброго вечора!
    Допоможыть зробити тренувальний модуль М-10.221 Перпендикулярність прямої і площини.Завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.221. Перпендикулярність прямої і площини. Завдання 10.

      Ребро, діагональ бічної грані і діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнюють відповідно 3 см, 5 см, 13 см. Знайди площу найбільшої грані паралелепіпеда.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах квадратних.

      Доброго вечора !
      Для розв’язування даного завдання достатньо виконати добротний малюнок і на ньому побачити через які прямокутні трикутники знайти два інших виміри паралелепіпеда. Маючи усі три виміри паралелепіпеда, вибрати з них два більші, які і будуть сторонами найбільшої грані паралелепіпеда.

      Обчислення пропоную провести самостійно.

      Видалити
  4. Доброго вечора! Допоможіть зробити тренувальний модуль М-10.222 Перпендикуляр і похила до площини.Завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 12.

      Точка рівновіддалена від усіх вершин правильного шестикутника і знаходиться на відстані 1 см від його площини. Обчисли суму відстаней від даної точки до вершин шестикутника, якщо менша з діагоналей шестикутника дорівнює 12 см.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.

      Доброго вечора !

      Позначимо через х см – довжину сторони шестикутника. Оскільки його менша діагональ дорівнює х √3 см то з рівності х √3 = 12 см , знайдемо х = 4√3 см . Пригадаємо, що в правильного шестикутника сторона дорівнює радіусу кола описаного навколо шестикутника, тобто R = 4√3 см.

      Тепер, маючи відстань від заданої точки до площини шестикутника і радіус описаного кола, не складно обчислити відстань від даної точки до площини шестикутника, а після цього обчислити і суму відстаней до усіх вершин шестикутника.

      Видалити
  5. Доброго вечора!
    Допоможыть зробити тренувальний модуль М-10.222 перпендикуляр і похила до площини .Завдання 6

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 6.

      Точка М знаходиться на відстані 1 дм від усіх вершин квадрата і на 8 см від його площини. Які серед даних тверджень вірні ?
      А) Довжина діагоналі квадрата дорівнює 6 см ;
      Б) Довжина діагоналі квадрата дорівнює 12 см ;
      В) Довжина сторони квадрата дорівнює 6√2 см ;
      Г) Довжина сторони квадрата дорівнює 4√2 см .

      Доброго вечора !
      Маючи відстань від заданої точки до вершини квадрата і до його площини, ми можемо знайти радіус кола описаного навколо квадрата. Тоді діагональ квадрата дорівнюватиме діаметру даного кола, а сторону квадрата можна знайти як, наприклад, добуток довжини діагоналі на синус кута 45 градусів.

      Видалити
  6. Доброго вечора!
    Допоможыть зробити тренувальний модуль М-10.222 перпендикуляр і похила до площини .Завдання 11

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 11.

      З деякої точки простору до площини проведено дві похилі завдовжки 13 см і 15 см. Знайди найбільш допустиму відстань між ї основами похилих, якщо різниця між проекціями похилих дорівнює 4 см.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.

      Доброго вечора !
      Через х см позначимо довжину меншої проекції , тоді (х + 4) см становитиме довжина більшої проекції. З прямокутних трикутників випливатиме рівність:
      $${{13}^{2}}-{{x}^{2}}={{15}^{2}}-{{(x+4)}^{2}}$$
      Розв’язуємо дане рівняння та знаходимо довжини проекцій, а найбільш допустима відстань дорівнюватиме їх сумі.

      Видалити
  7. Доброго вечора!
    Допоможыть зробити тренувальний модуль М-10.222 перпендикуляр і похила до площини .Завдання 12

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 12.

      Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 1,4 дм і 5 дм, а бічна сторона – 3 дм. Деяка точка простору знаходиться на відстані 6,5 дм від кожної вершини трапеції. Знайди відстань від даної точки до площини трапеції.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене в дециметрах.

      Доброго вечора !
      Пропоную розв’язати дане завдання за таким планом:

      1. Знайти висоту трапеції з прямокутного трикутника гіпотенузу якого утворює бічна сторона трапеції, а катет – піврізниця основ.

      2. Знайти діагональ трапеції з прямокутного трикутника один з катетів якого утворює висота трапеції, а довжина іншого дорівнює довжині середньої лінії трапеції.

      3. Знайти радіус кола описаного навколо трикутника, що утворений , наприклад з діагоналі, бічної сторони і більшої основи трапеції.

      4. Оскільки радіус кола, описаного навколо трикутника, буде радіусом кола описаного і навколо трапеції то залишається знайти відстань від даної точки до площини трикутника, як довжину катета трикутника гіпотенуза якого дорівнює відстані від даної точки до вершини трапеції, а інший катет утворюватиме радіус кола описаного навколо трапеції.

      Видалити
    2. Можна детальніше розповісти про 2 пункт?

      Видалити
    3. Звісно, що можна і деталізувати цей пункт... але зручніше, якщо намалювати малюнок і уважно придивитися до трикутника, який утворює одна з діагоналей трапеції, висота трапеції і частина більшої основи. Саме вона, частина більшої основи, і дорівнює по довжині середній лінії. Правда її можна і обчислити як різницю між більшою основою і піврізницею основ із першого пункту.

      Сподіваюся, що вже найближчим часом знайдеться спосіб як додавати додатки до коментарів з малюнками, а поки що доведеться їх виконувати власноруч.

      Видалити
  8. Добрий вечір! Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.223 теорема про три перпендикуляри.Завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.223. Теорема про три перпендикуляри. Завдання 10.

      Бічна сторона і основа рівнобедреного трикутника дорівнюють відповідно 15 см і 18 см. Деяка точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 5 см. Знайди відстань від даної точки до площини трикутника.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.

      Доброго вечора !
      Фактично, ми маємо трикутник зі сторонами 15 см, 15 см і 18 см. Знайшовши його площу, наприклад за формулою Герона , ми можемо знайти радіус кола r вписаного в трикутник:
      $$r=\frac{2S}{a+b+c}$$
      де a, b,c – сторони трикутника , S – площа трикутника.

      Відстань від точки простору до площини трикутника можна знайти з формули:
      $$h=\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}$$
      де d – відстань від точки до сторони трикутника , r – радіус кола вписаного в трикутник.

      Видалити
  9. Добрий вечір! Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.223 теорема про три перпендикуляри.Завдання 11

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.223. Теорема про три перпендикуляри. Завдання 11.

      МА – перпендикуляр проведений до площини ромба ABCD, у якого AC = 8 см, BD = 6 см . Знайди відстань від точки М до прямої CD, якщо відстань від точки М до прямої AB дорівнює 2 см.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.

      Доброго вечора !
      Якщо відомі діагоналі ромба , тоді ми можемо знайти його площу S і сторону c:
      $$ S =\frac{{{d}_{1}}\cdot {{d}_{2}}}{2},\text{ }c=\sqrt{{{\left( \frac{{{d}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{d}_{2}}}{2} \right)}^{2}}}$$
      Знайшовши його площу S і сторону c, ми можемо знайти висоту ромба h:
      $$h=\frac{S}{c}$$
      Після чого, відстань від точки від точки М до прямої CD шукаємо як гіпотенузу прямокутного трикутника, один з катетів якого є висотою ромба, а інший - перпендикуляром опущеним з деякої точки до площини ромба.

      Видалити
  10. Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 10.

      З точок А і В , які лежать у двох перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри АС і ВD до прямої перетину площин. Знайди довжину відрізка АВ, якщо АС = 2 см, ВD = 3 см, СD = 6 см.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.

      Доброго вечора!

      З трикутника СВD знаходимо гіпотенузу СВ, а з трикутника АСВ знаходимо гіпотенузу АВ. (див малюнок до задачі).

      Усе доволі просто - подвійне використання теореми Піфагора.

      Видалити
  11. Добрий вечір)Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини.Завдання 11

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 11.

      Через сторону AB проведено площину α під кутом 30° до площини трикутника АВС, у якого AB = 4 см, ВС = 13 см, АС = 15 см.

      Знайди відстань від точки С до площини α.

      У відповідь запиши значення величини вираженої у сантиметрах .



      Доброго вечора!

      1.За формулою Герона знаходимо площу трикутника АСВ.

      2.Визначаємо довжину висоти проведеної до продовження сторону АВ.

      3.З прямокутного трикутника, за відомими гіпотенузою і кутом, знаходимо відстань від точки до площини.

      При розв'язування даного завдавання використовуємо доданий малюнок.

      Видалити
  12. Добрий вечір)Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини.Завдання 12

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Висота правильної шестикутної піраміди дорівнює половині сторони . Знайди кут між площинами основи і бічної грані піраміди.

      У відповідь запиши числове значення квадрата косинуса знайденого кута.

      Тренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 12.

      Набір даних завдань використовувався при виконанні домашньої роботи.

      Пригадайте...

      Видалити
  13. Добрий вечір)Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини.Завдання 9

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 9.

      Спільна гіпотенуза у двох прямокутних рівнобедрених трикутників дорівнює 10 см, а відстань між вершинами їх прямих кутів – 5 см. Знайди кут між площинами даних трикутників.

      У відповідь запиши числове значення величини виражене у градусах.

      Доброго вечора.
      У даному завдання потрібно знайти висоту рівнобедреного трикутника проведену до гіпотенузи. Після чого розглянути трикутник утворений із двох таких висот і відрізком, що з'єднує вершини при прямих кутах. Для даного трикутника кут визначимо із теореми косинусів.

      Видалити