Тренувальні онлайн-тести з теми "Перпендикулярність прямих і площин".
Тренувальний модуль М_10.221 Перпендикулярність прямої і площини:
Тренувальний модуль М_10.222 Перпендикуляр і похила до площини:
Тренувальний модуль М_10.223 Теорема про три перпендикуляри:
Тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини:
Інтегрований модуль з теми "2.2 Перпендикулярність прямих і площин.10 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій загального доступу.
Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення, щодо тестових завдань, у яких можливо допущено помилку , не цілком зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування. Для цього достатньо вказати номер тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування. Після перевірки запиту це питання обов'язково буде розглянуто і проблемне завдання публічно прокоментовано.
Доброго вечора!
ВідповістиВидалитиДопоможыть зробити тренувальний модуль М-10.221 Перпендикулярність прямої і площини.Завдання 11
Тренувальний модуль М_10.221. Перпендикулярність прямої і площини. Завдання 11
ВидалитиПряма SF перпендикулярна до площини правильного шестикутника MKFPHL. Знайди периметр шестикутника, якщо SL = 6√5 см, SH = 12 см.
У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.
Доброго вечора !
При розв’язуванні даного завдання доречно використовувати малюнок, що додається до даного завдання, оскільки опублікувати його в коментарях можливості немає.
Нехай у шестикутнику MKFPHL сторона FP= х, тоді його діагоналі FL = 2х, а FH = √3х . Зв'язок сторони з діагоналями легко встановити пригадавши, наприклад, що більша діагональ шестикутника є діаметром кола описаного навколо шестикутника, а радіус кола дорівнює стороні шестикутника. Меншу ж діагональ шестикутника можна визначити з трикутника FPH використавши теорему косинусів.
Тепер розглянемо прямокутні трикутники SFL і SFH з спільним катетом SF.
$$\begin{align}
& \Delta SFL: \\
& S{{F}^{2}}=S{{L}^{2}}-F{{L}^{2}}={{\left( 6\sqrt{5} \right)}^{2}}-{{\left( 2x \right)}^{2}}=180-4{{x}^{2}}. \\
\end{align}$$
$$\begin{align}
& \Delta SFH: \\
& S{{F}^{2}}=S{{H}^{2}}-F{{H}^{2}}={{12}^{2}}-{{\left( \sqrt{3}x \right)}^{2}}=144-3{{x}^{2}}. \\
\end{align}$$
На основі цих зв’язків утворюємо рівняння:
$$\begin{align}
& 144-3{{x}^{2}}=180-4{{x}^{2}}, \\
& 4{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}=180-144, \\
& {{x}^{2}}=36, \\
& x=6. \\
\end{align}$$
А далі уже не складно, гадаю, дібратися до периметра шестикутника…
Доброго вечора!
ВідповістиВидалитиДопоможыть зробити тренувальний модуль М-10.221 Перпендикулярність прямої і площини.Завдання 12
Тренувальний модуль М_10.221. Перпендикулярність прямої і площини. Завдання 12.
ВидалитиДіагоналі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють √65 см, √17 см, 4√5 см . Знайди довжину діагоналі паралелепіпеда.
У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.
Доброго вечора !
Як щодо прямокутного паралелепіпеда з діагоналями граней 5 см, 4√10 см , 3√17 см ? Якщо немає заперечень - то усе гаразд ! Припускаємо, що a, b, c – виміри прямокутного паралелепіпеда. Тоді сума квадратів попарно взятих вимірів дорівнює квадратам діагоналей граней :
$$\begin{align}
& {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{5}^{2}}=25, \\
& {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 4\sqrt{10} \right)}^{2}}=400, \\
& {{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 3\sqrt{17} \right)}^{2}}=153. \\
\end{align}$$
Додамо почленно ці три рівності:
$$({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})\cdot 2=25+160+153=338,$$
З врахуванням того факту, що сума квадратів вимірів прямокутного паралелепіпеда дорівнює квадрату діагоналі, знаходимо:
$$\begin{align}
& ({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=338:2=169, \\
& {{d}^{2}}=169, \\
& d=13. \\
\end{align}$$
Аналогічно проводимо дослідження і для наших діагоналей.
Доброго вечора!
ВідповістиВидалитиДопоможыть зробити тренувальний модуль М-10.221 Перпендикулярність прямої і площини.Завдання 10
Тренувальний модуль М_10.221. Перпендикулярність прямої і площини. Завдання 10.
ВидалитиРебро, діагональ бічної грані і діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнюють відповідно 3 см, 5 см, 13 см. Знайди площу найбільшої грані паралелепіпеда.
У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах квадратних.
Доброго вечора !
Для розв’язування даного завдання достатньо виконати добротний малюнок і на ньому побачити через які прямокутні трикутники знайти два інших виміри паралелепіпеда. Маючи усі три виміри паралелепіпеда, вибрати з них два більші, які і будуть сторонами найбільшої грані паралелепіпеда.
Обчислення пропоную провести самостійно.
Доброго вечора! Допоможіть зробити тренувальний модуль М-10.222 Перпендикуляр і похила до площини.Завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 12.
ВидалитиТочка рівновіддалена від усіх вершин правильного шестикутника і знаходиться на відстані 1 см від його площини. Обчисли суму відстаней від даної точки до вершин шестикутника, якщо менша з діагоналей шестикутника дорівнює 12 см.
У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.
Доброго вечора !
Позначимо через х см – довжину сторони шестикутника. Оскільки його менша діагональ дорівнює х √3 см то з рівності х √3 = 12 см , знайдемо х = 4√3 см . Пригадаємо, що в правильного шестикутника сторона дорівнює радіусу кола описаного навколо шестикутника, тобто R = 4√3 см.
Тепер, маючи відстань від заданої точки до площини шестикутника і радіус описаного кола, не складно обчислити відстань від даної точки до площини шестикутника, а після цього обчислити і суму відстаней до усіх вершин шестикутника.
Доброго вечора!
ВідповістиВидалитиДопоможыть зробити тренувальний модуль М-10.222 перпендикуляр і похила до площини .Завдання 6
Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 6.
ВидалитиТочка М знаходиться на відстані 1 дм від усіх вершин квадрата і на 8 см від його площини. Які серед даних тверджень вірні ?
А) Довжина діагоналі квадрата дорівнює 6 см ;
Б) Довжина діагоналі квадрата дорівнює 12 см ;
В) Довжина сторони квадрата дорівнює 6√2 см ;
Г) Довжина сторони квадрата дорівнює 4√2 см .
Доброго вечора !
Маючи відстань від заданої точки до вершини квадрата і до його площини, ми можемо знайти радіус кола описаного навколо квадрата. Тоді діагональ квадрата дорівнюватиме діаметру даного кола, а сторону квадрата можна знайти як, наприклад, добуток довжини діагоналі на синус кута 45 градусів.
Доброго вечора!
ВідповістиВидалитиДопоможыть зробити тренувальний модуль М-10.222 перпендикуляр і похила до площини .Завдання 11
Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 11.
ВидалитиЗ деякої точки простору до площини проведено дві похилі завдовжки 13 см і 15 см. Знайди найбільш допустиму відстань між ї основами похилих, якщо різниця між проекціями похилих дорівнює 4 см.
У відповідь запиши числове значення величини виражене в сантиметрах.
Доброго вечора !
Через х см позначимо довжину меншої проекції , тоді (х + 4) см становитиме довжина більшої проекції. З прямокутних трикутників випливатиме рівність:
$${{13}^{2}}-{{x}^{2}}={{15}^{2}}-{{(x+4)}^{2}}$$
Розв’язуємо дане рівняння та знаходимо довжини проекцій, а найбільш допустима відстань дорівнюватиме їх сумі.
Доброго вечора!
ВідповістиВидалитиДопоможыть зробити тренувальний модуль М-10.222 перпендикуляр і похила до площини .Завдання 12
Тренувальний модуль М_10.222. Перпендикуляр і похила до площини. Завдання 12.
ВидалитиОснови рівнобічної трапеції дорівнюють 1,4 дм і 5 дм, а бічна сторона – 3 дм. Деяка точка простору знаходиться на відстані 6,5 дм від кожної вершини трапеції. Знайди відстань від даної точки до площини трапеції.
У відповідь запиши числове значення величини виражене в дециметрах.
Доброго вечора !
Пропоную розв’язати дане завдання за таким планом:
1. Знайти висоту трапеції з прямокутного трикутника гіпотенузу якого утворює бічна сторона трапеції, а катет – піврізниця основ.
2. Знайти діагональ трапеції з прямокутного трикутника один з катетів якого утворює висота трапеції, а довжина іншого дорівнює довжині середньої лінії трапеції.
3. Знайти радіус кола описаного навколо трикутника, що утворений , наприклад з діагоналі, бічної сторони і більшої основи трапеції.
4. Оскільки радіус кола, описаного навколо трикутника, буде радіусом кола описаного і навколо трапеції то залишається знайти відстань від даної точки до площини трикутника, як довжину катета трикутника гіпотенуза якого дорівнює відстані від даної точки до вершини трапеції, а інший катет утворюватиме радіус кола описаного навколо трапеції.
Можна детальніше розповісти про 2 пункт?
ВидалитиЗвісно, що можна і деталізувати цей пункт... але зручніше, якщо намалювати малюнок і уважно придивитися до трикутника, який утворює одна з діагоналей трапеції, висота трапеції і частина більшої основи. Саме вона, частина більшої основи, і дорівнює по довжині середній лінії. Правда її можна і обчислити як різницю між більшою основою і піврізницею основ із першого пункту.
ВидалитиСподіваюся, що вже найближчим часом знайдеться спосіб як додавати додатки до коментарів з малюнками, а поки що доведеться їх виконувати власноруч.
Добрий вечір! Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.223 теорема про три перпендикуляри.Завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.223. Теорема про три перпендикуляри. Завдання 10.
ВидалитиБічна сторона і основа рівнобедреного трикутника дорівнюють відповідно 15 см і 18 см. Деяка точка простору віддалена від кожної сторони трикутника на 5 см. Знайди відстань від даної точки до площини трикутника.
У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.
Доброго вечора !
Фактично, ми маємо трикутник зі сторонами 15 см, 15 см і 18 см. Знайшовши його площу, наприклад за формулою Герона , ми можемо знайти радіус кола r вписаного в трикутник:
$$r=\frac{2S}{a+b+c}$$
де a, b,c – сторони трикутника , S – площа трикутника.
Відстань від точки простору до площини трикутника можна знайти з формули:
$$h=\sqrt{{{d}^{2}}-{{r}^{2}}}$$
де d – відстань від точки до сторони трикутника , r – радіус кола вписаного в трикутник.
Добрий вечір! Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.223 теорема про три перпендикуляри.Завдання 11
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.223. Теорема про три перпендикуляри. Завдання 11.
ВидалитиМА – перпендикуляр проведений до площини ромба ABCD, у якого AC = 8 см, BD = 6 см . Знайди відстань від точки М до прямої CD, якщо відстань від точки М до прямої AB дорівнює 2 см.
У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.
Доброго вечора !
Якщо відомі діагоналі ромба , тоді ми можемо знайти його площу S і сторону c:
$$ S =\frac{{{d}_{1}}\cdot {{d}_{2}}}{2},\text{ }c=\sqrt{{{\left( \frac{{{d}_{1}}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{d}_{2}}}{2} \right)}^{2}}}$$
Знайшовши його площу S і сторону c, ми можемо знайти висоту ромба h:
$$h=\frac{S}{c}$$
Після чого, відстань від точки від точки М до прямої CD шукаємо як гіпотенузу прямокутного трикутника, один з катетів якого є висотою ромба, а інший - перпендикуляром опущеним з деякої точки до площини ромба.
Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 10.
ВидалитиЗ точок А і В , які лежать у двох перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри АС і ВD до прямої перетину площин. Знайди довжину відрізка АВ, якщо АС = 2 см, ВD = 3 см, СD = 6 см.
У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.
Доброго вечора!
З трикутника СВD знаходимо гіпотенузу СВ, а з трикутника АСВ знаходимо гіпотенузу АВ. (див малюнок до задачі).
Усе доволі просто - подвійне використання теореми Піфагора.
Добрий вечір)Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини.Завдання 11
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 11.
ВидалитиЧерез сторону AB проведено площину α під кутом 30° до площини трикутника АВС, у якого AB = 4 см, ВС = 13 см, АС = 15 см.
Знайди відстань від точки С до площини α.
У відповідь запиши значення величини вираженої у сантиметрах .
Доброго вечора!
1.За формулою Герона знаходимо площу трикутника АСВ.
2.Визначаємо довжину висоти проведеної до продовження сторону АВ.
3.З прямокутного трикутника, за відомими гіпотенузою і кутом, знаходимо відстань від точки до площини.
При розв'язування даного завдавання використовуємо доданий малюнок.
Добрий вечір)Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини.Завдання 12
ВідповістиВидалитиВисота правильної шестикутної піраміди дорівнює половині сторони . Знайди кут між площинами основи і бічної грані піраміди.
ВидалитиУ відповідь запиши числове значення квадрата косинуса знайденого кута.
Тренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 12.
Набір даних завдань використовувався при виконанні домашньої роботи.
Пригадайте...
Добрий вечір)Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.224 Перпендикулярні площини.Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.224. Перпендикулярні площини. Завдання 9.
ВидалитиСпільна гіпотенуза у двох прямокутних рівнобедрених трикутників дорівнює 10 см, а відстань між вершинами їх прямих кутів – 5 см. Знайди кут між площинами даних трикутників.
У відповідь запиши числове значення величини виражене у градусах.
Доброго вечора.
У даному завдання потрібно знайти висоту рівнобедреного трикутника проведену до гіпотенузи. Після чого розглянути трикутник утворений із двох таких висот і відрізком, що з'єднує вершини при прямих кутах. Для даного трикутника кут визначимо із теореми косинусів.