середа, 17 жовтня 2018 р.

1.1 Степеневі функції. 10 клас.

Тренувальні онлайн-тести  з теми  "Степеневі функції".

Тренувальний модуль А_10.111. Функції і їх властивості:

Тренувальний модуль А_10.112. Корінь п-го степеня:

Тренувальний модуль А_10.113. Раціональний показник:

Тренувальний модуль А_10.114. Степенева функція:

 Інтегрований модуль з теми "1.1 Степеневі функції, 10 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій  загального доступу.

 Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення , щодо тестових завдань у яких можливо допущено помилку , не цілком  зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування.Для цього достатньо вказати номер  тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування.  Після  перевірки запиту це питання обов'язково буде  розглянуто і проблемне  завдання  публічно прокоментовано.

16 коментарів:

  1. Як робити раціональний показник 8 завдання???

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Добрий день !
      Маєте на увазі :
      Тренувальний модуль А_10.113. Раціональний показник. Завдання 8.
      8. Встанови відповідності між виразами та проміжками, у яких перебувають їхні значення.
      $$1)\text{ }{{2}^{0,4}}\cdot {{5}^{0,2}};\text{ }2)\text{ }{{5}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{2}^{\frac{1}{4}}};\text{ }3)\text{ }2\cdot {{5}^{\frac{1}{3}}};\text{ }4)\text{ }{{3}^{0,5}}\cdot {{7}^{0,5}}.$$

      Варіанти відповідей: А) (1; 2) ; Б) (2; 3) ; В) (3; 4) ; Г) (5; 6) ;

      Розв’язання:
      Для прикладу розглянемо вираз
      $$\begin{align}
      & {{5}^{\frac{1}{2}}}\cdot {{2}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[{}]{5}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{{{5}^{2}}}\cdot \sqrt[4]{2}= \\
      & =\sqrt[4]{25}\cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[4]{25\cdot 2}=\sqrt[4]{50} \\
      \end{align}$$
      Оскільки
      $$\sqrt[4]{16}<\sqrt[4]{50}<\sqrt[4]{81}$$
      то
      $$2<\sqrt[4]{50}<3$$
      Відповідь: (2; 3)
      Аналогічним способом знаходимо і для інших завдань.

      Видалити
  2. Як робити Тренувальний модуль А_10.111.функції і їх властивості,6,7,10 завдання???

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Скільки завдань в одному запитанні ! Доволі незручний спосіб. Однак, спробую відповісти.

      Завдання №6 і №7 з тренувального модуля 111 розв’язуються візуально, тобто через побудову графіків. Тому продемонструвати це в коментарях немає можливості. Як варіант, для цього можна використати графічний конструктор Advanced Grapher 2.2, який безкоштовно (для некомерційних цілей ) можна завантажити на сайті http://freesoft.ru/advanced_grapher. В перспективі планується окрема публікація по графіках функцій, в якій знайомитимуть із загальними підходами для розв’язування графічних вправ.

      І давайте домовимось: в одному запитанні тільки одне завдання! Здається, що такий підхід зручний і зрозумілий. Запитань довільна кількість але…. в кожному запитанні вказувати лише одне завдання. Тобто, у подальшому запитання із оптовою кількістю завдань не розглядатимуться.

      Видалити
    2. Тепер детально, щодо завдання №10 з тренувального модуля 111.
      Знайди найбільше значення аргументу, при якому значення функції $$y=\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-6x+9}$$ дорівнює $$5\frac{3}{4}.$$
      Розв’язання:
      Існують загальні методи розв’язання таких завдань – створення рівняння, піднесення його обох частин до квадрату і зведення даної рівності до квадратного рівняння. Однак, це доволі громіздкий і затратний у часі підхід. В нашому випадку , доречно перетворити вираз в правій частині, прирівняти до необхідного значення функції , а потім використати одну з властивостей кореня і перейти до двох лінійних рівнянь:
      $$\begin{align}
      & y=\sqrt[{}]{{{x}^{2}}-6x+9}=\sqrt[{}]{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}=|x-3|, \\
      & |x-3|=5\frac{3}{4}. \\
      \end{align}$$

      Розглядаємо перший з випадків:
      $$x-3=-5\frac{3}{4},\text{ }x=-2\frac{3}{4}.$$
      Аналогічно розглядаємо другий випадок:
      $$x-3=5\frac{3}{4}.$$
      Потім з двох «лих» вибираємо більше і записуємо у відповідь. Звісно, що одержаний результат потрібно буде перетворити в десятковий дріб.

      Видалити
  3. Як робити Тренувальний тест А_10.113.Раціональний показник.10 завдання

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_10.113. Раціональний показник. Завдання 10.

      Спрости вираз та вкажи найменше натуральне значення, при якому він приймає додатне значення:
      $$\frac{{{n}^{\frac{2}{3}}}+2{{n}^{\frac{1}{3}}}}{n-4{{n}^{\frac{1}{3}}}}$$

      Доброї ночі!
      Хороше завдання ! Як тут не пояснити… Тим більше, що воно єдине у цьому запитанні :).

      Спрощуємо вираз шляхом винесення за дужки спільного множника:
      $$\frac{{{n}^{\frac{2}{3}}}+2{{n}^{\frac{1}{3}}}}{n-4{{n}^{\frac{1}{3}}}}=\frac{{{\left( {{n}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}+2{{n}^{\frac{1}{3}}}}{{{\left( {{n}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{3}}-4{{n}^{\frac{1}{3}}}}=\frac{{{n}^{\frac{1}{3}}}\left( {{n}^{\frac{1}{3}}}+2 \right)}{{{n}^{\frac{1}{3}}}\left( {{n}^{\frac{2}{3}}}-4 \right)}=\frac{{{n}^{\frac{1}{3}}}+2}{{{n}^{\frac{2}{3}}}-4}$$
      Використаємо формулу скороченого множення:
      $$\frac{{{n}^{\frac{1}{3}}}+2}{{{n}^{\frac{2}{3}}}-4}=\frac{{{n}^{\frac{1}{3}}}+2}{{{\left( {{n}^{\frac{1}{3}}} \right)}^{2}}-{{2}^{2}}}=\frac{{{n}^{\frac{1}{3}}}+2}{\left( {{n}^{\frac{1}{3}}}-2 \right)\left( {{n}^{\frac{1}{3}}}+2 \right)}=\frac{1}{{{n}^{\frac{1}{3}}}-2}$$
      Очевидно, що значення виразу додатне лише тоді, коли :
      $${{n}^{\frac{1}{3}}}-2>0,\text{ }{{n}^{\frac{1}{3}}}>2,\text{ }n>8. $$
      Здогадуємося про найменше натуральне число, яке більше за вісім і записуємо його у відповідь.

      Видалити
  4. Як робити Тренувальний тест А-10.114.Степенева функцыя.Завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_10.114. Степенева функція. Завдання 10.
      $$f\left( x \right)=\sqrt[4]{{{x}^{2}}+6x+5},\text{ }f\left( 2\sqrt{5}-3 \right)=...? $$

      Доброго дня !
      Це завдання можна розв’язати шляхом безпосередньої підстановки значення аргументу у формулу даної функції. Але в цьому випадку на нас чатуватимуть доволі громіздкі обчислення...

      Запропоную більш простий шлях:
      1. Здійснити певні математичні «маніпуляції» над правою частиною функції:
      $$f\left( x \right)=\sqrt[4]{{{x}^{2}}+6x+5}=\sqrt[4]{{{x}^{2}}+6x+9-4}=\sqrt[4]{{{\left( x+3 \right)}^{2}}-4}$$
      2. Підставити значення аргументу у новостворену функцію:
      $$f\left( 2\sqrt{5}-3 \right)=\sqrt[4]{{{\left( 2\sqrt{5}-3+3 \right)}^{2}}-4}=\sqrt[4]{{{\left( 2\sqrt{5} \right)}^{2}}-4}=\sqrt[4]{16}=2.$$

      Доречно зауважити, що схоже завдання пропонувалося, здається, на ЗНО 2016.

      Видалити
  5. Як робити Тренувальний тест А_10.114.Степенева функцыя.Завдання 11.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_10.114. Степенева функція. Завдання 11.

      Вкажи довжину відрізка, що зображає область значення функції:
      $$f(x)=\sqrt[{}]{4x-{{x}^{2}}}$$

      Дана функція утворена поєднанням двох відомих функцій:
      $$1)f(x)=\sqrt{x};\text{ }2)g(x)=4x-{{x}^{2}}.$$
      На властивості кожної з цих функцій якраз і потрібно звернути увагу. Значення першої (зовнішньої) функції цілком залежить від значень другої (внутрішньої) функції. Оскільки графіком внутрішньої функції є парабола, вітки якої направлені до низу, то для зовнішньої функції важливі нулі внутрішньої функції
      $$\begin{align}
      & 4x-{{x}^{2}}=0, \\
      & x(4-x)=0, \\
      & {{x}_{1}}=0,\text{ }{{x}_{2}}=4. \\
      \end{align}$$
      та координати вершини її параболи.
      $$\begin{align}
      & {{x}_{0}}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2\cdot 1}=2, \\
      & g({{x}_{0}})=4{{x}_{0}}-{{x}_{0}}^{2}=4\cdot 2-{{2}^{2}}=4. \\
      \end{align}$$
      Тепер можемо знайти область значень вихідної функції:
      $$\begin{align}
      & x=0,\text{ }f(x)=\sqrt{0}=0, \\
      & x=4,\text{ }f(x)=\sqrt{4}=2, \\
      \end{align}$$
      Зрозуміло, що довжина відрізка, який зображає область значення функції, визначається з проміжку [0;2].

      Видалити
  6. Як робити Тренувальний тест А_10.114.Степеневы функції.Завдання 12.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль А_10.114. Степенева функція. Завдання 12.

      Не виконуючи побудови знайди координати точок перетину графіків функцій: $$y={{x}^{2}}-8\text{ }i\text{ }y={{\left( \frac{x}{3} \right)}^{-2}}$$.
      У відповідь запиши середнє арифметичне координат точки перетину, яка знаходиться у другій чверті.

      Ох вже ці степеневі функції… З ними скільки мороки, що, може, їх варто не робити взагалі ? :))

      Тут утворюємо рівняння з двох даних функцій і здійснюємо над ним «магічні перетворення», звісно, спираючись на загальновідомі математичні правила.
      $$\begin{align}
      & {{x}^{2}}-8\text{ }={{\left( \frac{x}{3} \right)}^{-2}}, \\
      & {{x}^{2}}-8\text{ }={{\left( \frac{3}{x} \right)}^{2}}, \\
      & {{x}^{2}}-8\text{ }=\frac{9}{{{x}^{2}}}, \\
      & {{x}^{4}}-8{{x}^{2}}-9=0. \\
      \end{align}$$
      Далі вже самостійно розв’язуємо одержане біквадратне рівняння, визначаємо координати точок перетину графіків функцій, вибираємо ту, яка знаходиться у другій чверті і знаходимо середнє арифметичне її координат.

      Видалити
  7. Приношу свої вибачення, що збився у нумерації завдань у двох попередніх коментарях. Але шо вдієш коли наплив такої кількість запитань з одного тренувального модуля. Головне, що ситуація виправлена і тепер відповідні завдання вже на своїх місцях.

    ВідповістиВидалити