четвер, 1 листопада 2018 р.

2.1 Многокутники. 11 клас

Тренувальні онлайн-тести  з теми  "Многокутники".

Тренувальний модуль М_11.211. Призма та її елементи:

Тренувальний модуль М_11.212. Площа поверхні призми:

Тренувальний модуль М_11.213. Піраміда та її елементи:

Тренувальний модуль М_11.214. Площа поверхні піраміди.:

? Інтегрований модуль з теми "1.1 Многокутники, 11 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій  загального доступу.

?? Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення , щодо тестових завдань у яких можливо допущено помилку , не цілком  зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування.Для цього достатньо вказати номер  тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування.  Після  перевірки запиту це питання обов'язково буде  розглянуто і проблемне  завдання  публічно прокоментовано.

30 коментарів:

  1. Добрий вечір. Поясніть будь ласка як робити завдання 4 з 111-го модуля.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. І Вам доброго вечора !

      Тренувальний модуль Г_11.111. Призма та її елементи. Завдання 4.

      Чому дорівнює градусна міра двогранного кута при бічному ребрі правильного п’ятикутника ?

      Варіанти відповідей: А) 102º ; Б) 104º ; В) 106º ; Г) 108º ;

      Розв’язання:

      Тут потрібно трішки образного мислення, а саме уявити собі правильну п’ятикутну призму та побачити, що лінійним кутом двогранного кута при бічному ребрі є власне внутрішній кут п’ятикутника. А далі вирішуємо суто технічну сторону цього питання, знаходження градусної міри кута правильного п’ятикутника за відомою формулою, ще з далекого дев’ятого класу:
      $${{\alpha }_{n}}=\frac{180(n-2)}{n}$$

      Видалити
  2. Добрий вечір. Перевірте будь ласка завдання 10 з модуля 111. Мені здається, що там допущена помилка.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Мається на увазі ось це завдання:

      В основі прямої призми лежить трикутник зі сторонами 3 см і 5 см, а діагональ бічної грані, що містить невідому сторону трикутника, дорівнює 25 см. Знайди найбільший з двогранних кутів призми, якщо її висота дорівнює 24 см.
      / Тренувальний модуль Г_11.111. Призма та її елементи. Завдання 10./

      Перевіряв. З ним усе гаразд і відповідь у тесті до нього вказана правильна.

      Якщо виникне потреба прокоментувати хід його розв’язання, повідомите про це окремо.

      Видалити
  3. Доброго вечора. Перевірте будь-ласка завдання 8 модуль 111. На мою думку, там помилка. Тому що діагональ найменшої бічної грані дорівнює √233. відповідно,4√5 см діагональ найбільшої бічної грані.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.111. Призма та її елементи. Завдання 8.

      В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з основами 4 см і 14 см і бічною стороною 13 см. Бічне ребро призми дорівнює 8 см. Знайди:

      1) діагональ основи призми:
      2) діагональ найменшої з бічних граней призми:
      3) діагональ призми:

      Доброго вечора !
      Мається на увазі, що проблемним у даному завданні є другий пункт: «діагональ найменшої з бічних граней призми» ?
      Однак, не розумію цієї іронії , коли √233 менший за 4√5=√80.
      Та в будь-якому з випадків найменшою є діагональ бічної грані з основою 4 см та бічним ребром 8 см:
      Бо за теоремою Піфагора:
      $$d=\sqrt{{{4}^{2}}+{{8}^{2}}}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$

      Інші діагоналі з бічних граней не претендують на «звання» найменшої діагоналі бічної грані.

      Видалити
  4. Доброго вечора. Поясніть будь-ласка завдання 11 модуль 111.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.111. Призма та її елементи. Завдання 11.
      Діагональ правильної чотирикутної призми утворює з площиною бічної грані кут 30ᵒ . Знайди площу основи призми, якщо площа її діагонального перерізу дорівнює 18 см2 .

      У відповідь запиши числове значення величини виражене сантиметрах квадратних.

      Хороше завдання !!!

      Спершу потрібно самотужки виконати добротний малюнок, на якому можна побачити:

      1)Кут між діагоналлю призми і бічною гранню утворюють діагональ призми і діагональ бічної грані.

      2) Розглянути трикутник утворений двома даними діагоналями і стороною основи призми:
      В ньому позначити сторону основи, наприклад, за «х» і визначити діагональ основи як «2х», оскільки навпроти сторони основи кут 30ᵒ .

      3) Знайти діагональ основи з прямокутного рівнобедреного трикутника: «х√2».

      4) З трикутника утвореного діагоналлю призми, діагоналлю основи і бічним ребром визначити бічне ребро: «х√2».

      5) Зробити висновок, що діагональним перерізом є квадрат зі стороною «х√2».

      6) Знаючи , що площа діагонального перерізу дорівнює 18 см нескладно знайти «х» та обчислити площу основи.

      Видалити
  5. Доброго вечора. Перевірте будь-ласка завдання 1 модуль 112. На мою думку, там допущена помилка, адже площа бічної поверхні становить 1/3 від площі повної поверхні. А відповіді 3/4 і 2/3.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.112. Площа поверхні призми. Завдання 1.

      Яку частину від повної поверхні куба становить площа його бічної поверхні ?

      Бічна поверхня куба складається з чотирьох граней, а повна з шести. Отже, маємо відношення 4:6 або (скоротивши на 2) 2:3.
      І тут без варіантів !

      Видалити
  6. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 11 модуль 112.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.112. Призма та її елементи. Завдання 11.

      Площа бічної поверхні правильної шестикутної призми дорівнює 324 см2, а більша з діагоналей призми – 15 см. Знайди периметр прямокутника, який є більшим з діагональних перерізів призми.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.

      Доброго вечора !

      1. Нехай с- сторона правильної шестикутної призми, а b – бічне ребро. Тоді більша діагональ основи призми дорівнює 2с. Отже, Sб = 6cb, S = 2cb. Тобто площа більшого діагонального перерізу втричі менша від бічної поверхні: S = 324 : 3 = 108 .

      2. Нехай S – площа прямокутника , P - периметр прямокутника, d - діагональ прямокутника.
      Якщо через х і у позначити сторони прямокутника, то можна легко встановити (через формулу скороченого множення) таку залежність між його діагоналлю, площею і периметром прямокутника:
      $${{\left( \frac{P}{2} \right)}^{2}}={{d}^{2}}+2S$$

      Звідки і знайдемо периметр перерізу.

      Видалити
  7. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 6 модуль 113.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.113. Піраміда та її елементи. Завдання 6.

      У правильній чотирикутній піраміді усі ребра рівні.
      Вибери усі правильні твердження для даної піраміди.

      А) Двогранні кути при бічних ребрах піраміди гострі.
      В) Сума усіх лінійних кутів тригранного кута піраміди дорівнює 180 º .
      С) Плоскі кут при вершині піраміди прямі .
      Д) Косинус кута нахилу бічного ребра до площини основи піраміди дорівнює $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.


      Доброго вечора !
      Для розв’язування багатьох геометричних задач потрібний якісний малюнок. За його допомогою можна і давати відповіді на поставлені запитання. Але у деяких випадках це зайве. Наприклад, цілком зрозуміло, якщо усі ребра піраміди рівні, то усі її грані – рівносторонні трикутники. Отже, кожний плоский кут дорівнює 60º. Тоді очевидно, що сума усіх лінійних кутів тригранного кута піраміди дорівнює 180 º .

      А ось для знаходження косинуса кута нахилу бічного ребра до площини основи піраміди без малюнка не обійтися. Нажаль в коментарях відсутня можливість додавати зображення, щоб продемонструвати це. Велика увага цьому питанню приділяється в тестах, де практично кожне друге завдання супроводжується малюнком. Тут можливо описувати такі речі лише словесно, а від них користь є лише тоді, коли присутня хороша просторова уява і є чітке розуміння того, про що там йдеться.

      Спробуємо цю проблему в якісь спосіб вирішити пізніше, бо наразі давати паралельну публікацію для коментарів – розкіш, а створювати щось на зразок ГДЗ – зайве.

      Видалити
  8. Доброго вечора! Поясніть будь-ласка завдання 10 модуль 113.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.113. Піраміда та її елементи. Завдання 10.

      В основі піраміди лежить трикутника з стороною 8 см і протилежним кутом 150 º. Знайди висоту піраміди , якщо усі бічні ребра рівні і дорівнюють 17 см.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах.



      Доброго вечора !
      При розв’язуванні даної задачі нам стане у пригоді відомий наслідок з теореми синусів:
      $$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$$
      Для нашого випадку:
      $$\frac{8}{\sin {{150}^{\circ }}}=2R$$
      Звідки:
      $$R=8$$
      А далі , використавши теорему Піфагора, знайти висоту призми, коли відоме її бічне ребро і радіус кола описаного навколо основи .

      Видалити
  9. Доброго вечора! Поясніть, будь-ласка завдання 6 з модуля 111.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.111. Призма та її елементи. Завдання 6.

      Бічні грані правильної трикутної призми є квадратами. Вибери усі правильні твердження для даної призми.

      А) Двогранні кути при бічних ребрах прямі.
      Б) Сума усіх лінійних кутів тригранного кута призми дорівнює 240º .
      В) Діагональ бічної грані призми утворює з її основою кут 60º .
      Г) Косинус кута між діагоналями бічних граней призми, що виходять зі спільної її вершини дорівнює 0,75.


      Доброго вечора !
      Вияснимо з чого утворена дана призма. Бічні грані правильної трикутної призми є квадратами – за умовою, а основи – рівносторонніми трикутниками за означенням. Отже, плоскі кути призми можуть дорівнювати 90º або 60º. Звідси і стартуємо:

      Наприклад, двогранні кути при бічних ребрах дорівнюють по 60º.
      Сума усіх лінійних кутів будь-якого з тригранних кутів дорівнюватиме: 90º + 90º+ 60º = 240º.

      Аналогічно з’ясовуємо момент істини і для двох інших тверджень.
      Тут головне якісний малюнок + хороша уява. Як варіант,можна пошукати в Інтернеті, наприклад, тут https://www.youtube.com/watch?v=qlO6db60lvY

      Видалити
  10. Добрий вечір. Перевірте будь ласка 6,11 і 12 завдання з модуля 113. Також завдання 7 з модуля 112, там помилка є точно(для однієї з задач подана в відповідь площа бічної поверхні, а потрібно повну).

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Як правило коментарі з "букетом" помилок тут не розглядаються та не публікуються, оскільки в одному коментарі повинно обговорюватися рівно одне завдання. Але на цей раз зроблю виключення, бо більшість зауважень слушні, а така праця варта уваги і поваги.

      Маєте рацію щодо завдань 6 і 12 з тренувального модуля 113. Усі неточності уже виправлені. Завдання 11 потребує уточнення. На мою думку - з ним усе гаразд.

      А ось детальний коментар щодо завдання 7 з тренувального модуля 112 заслуговує оплесків. Так, там дійсно в одному із завдань пропонувалася відповідь для бічної поверхні призми, коли в умові говорилося про повну поверхню. Ця помилка виправлена.

      Щиро дякую за таку участь. Приходьте ще :)
      Єдине прохання на майбутнє: в одному коментарі - одне завдання!

      Видалити
  11. Доброго вечора, поясніть будь-ласка завдання 11 з 113-го модуля.

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.113. Піраміда та її елементи.

      Завдання 10.
      В основі піраміди лежить рівнобічна трапеція з основами 18 см і 32 см. Кожний з двогранних кутів при ребрі основи дорівнює 60º . Знайди апофему піраміди.

      У відповідь запиши значення величини вираженої у сантиметрах .

      Доброго вечора !
      Коротко про саму ідею розв’язування. Важливим тут є речення «кожний з двогранних кутів при ребрі основи дорівнює 60º». Іншими словами – вершина піраміди рівновіддалена від усіх її сторін(!), тобто основа висоти піраміди знаходиться в центрі кола вписаного в трапецію. Якщо в трапецію можна вписати коло то суми її протилежних сторін рівні.

      Отже, бічна сторона дорівнює півсумі основ :
      $$\frac{32+18}{2}=25$$
      Далі знаходимо піврізницю:
      $$\frac{32-18}{2}=7$$
      За теоремою Піфагора – висоту трапеції:
      $$\sqrt{{{25}^{2}}-{{7}^{2}}}=24$$.
      Враховуючи те, що радіус вписаного кола дорівнює половині висоти і нам відомі двогранні кути при основі , залишається один крок до знаходження апофеми.

      Видалити
  12. Доброї ночі! Поясніть будь ласка завдання 12 з модуля 11.112. Дякую!

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль Г_11.112. Призма та її поверхня. Завдання 4.

      Діагоналі граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 5 см, 4√10 см , 3√17 см. Знайди площу поверхні паралелепіпеда.
      У відповідь запиши числове значення величини виражене у сантиметрах квадратних.

      Доброго вечора !
      Припускаємо, що a, b, c – виміри прямокутного паралелепіпеда. Тоді сума квадратів, попарно взятих, вимірів дорівнює квадратам діагоналей граней :
      $$\begin{align}
      & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{5}^{2}}=25, \\
      & {{b}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 4\sqrt{10} \right)}^{2}}=400, \\
      & {{a}^{2}}+{{c}^{2}}={{\left( 3\sqrt{17} \right)}^{2}}=153. \\
      \end{align}$$
      Додамо почленно ці три рівності:
      $$({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})\cdot 2=25+160+153=338,$$
      З врахуванням того факту. Що сума квадратів вимірів прямокутного паралелепіпеда дорівнює квадрату діагоналі, знаходимо:
      $$\begin{align}
      & ({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}})=338:2=169, \\
      & {{d}^{2}}=169, \\
      & d=13. \\
      \end{align}$$
      Далі знаходимо виміри прямокутного паралелепіпеда, наприклад,
      $$\begin{align}
      & {{a}^{2}}={{d}^{2}}-{{5}^{2}}={{13}^{2}}-{{5}^{2}}=144, \\
      & a=12 \\
      \end{align}$$
      Після цього шукаємо поверхню паралелепіпеда:
      $$S=2(ab+ac+bc).$$
      Зауваження: Усі зв’язки між вимірами , діагоналями бічних граней і діагоналлю паралелепіпеда можна побачити на моделі паралелепіпеда через прямокутні трикутники.

      Видалити
  13. Доброго вечора! Поясніть будь ласка завдання 12 з модуля 11.113. Дякую!






    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Доброго вечора !
      Даруйте, але маю надто мало часу...
      Через те, про саму ідею розв'язання:
      З площ основ (які є квадратами) зрізаної правильної чотирикутної піраміди, що дорівнюють 8 см2 і 98 см2 знаходимо діагоналі, які будуть основами для діагонального перерізу.
      А далі знаходимо бічне ребро трапеції,яка є діагональним перерізом, і висоту , а потім кут нахилу між висотою трапеції і бічним ребром.

      Видалити
    2. Я саме так і робила: перша діагональ виходить 2, а друга 7, бічне ребро виходить 4,5, а висота зрізаної піраміди 10, тоді маючи гіпотенузу і протилежний катет я хотіла знайти синус кута при більшій основі, але в мене виходить якась дурниця

      Видалити
    3. Даруйте, але коли площа квадрата 8 то сторона √8 = 2√2 і діагональ квадрата виходить - 4 см, аналогічно діагональ другого квадрата - 14 см. І тоді висота Н = 2S : (4+14)= 90 : 18 = 5. І кут тоді вийде гарний :)

      Видалити