Тренувальні онлайн-тести з теми "Похідна та її застосування".
Тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функції:
Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій:
Тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної:
Тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції:
Інтегрований модуль з теми "1.3 Похідна та її застосування.10 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій загального доступу.
Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення, щодо тестових завдань, у яких можливо допущено помилку , не цілком зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування. Для цього достатньо вказати номер тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування. Після перевірки запиту це питання обов'язково буде розглянуто і проблемне завдання публічно прокоментовано.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 4
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 4
ВидалитиЗнайти кут між дотичною, яка проведена до графіка функції у = x² в точці x₀= 0,5 , і додатним напрямом осі Ох.
Відповіді: А) 30° ; Б) 45° ; В) 60° ; Г) 90° .
Доброго дня !
Знаходимо похідну функції:
$${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x. $$
Беремо до уваги те, що за геометричним змістом похідної:
$$tg\alpha ={f}'({{x}_{\circ }})={f}'(0,5)=2\cdot 0,5=1$$
Залишилося з’ясувати тангенс якого кута дорівнює одиниці.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8.
ВидалитиВстанови відповідності між функціями та рівняннями їх дотичних, які проходять через точку х ₀ = – 1 .
І) у = х² – 2х ;
ІІ) у = х² – 2 ;
ІІІ) у = (х – 2)² ;
Відповіді: А) у= –5х – 2 ; Б) у= –6х + 3 ; В) у= –4х – 1 ; Г) у= –2х – 3 ;
Доброго дня !
Розглянемо одну з функцій, наприклад, у = х² – 2х.
Згадаємо, що рівняння дотичної до графіка в точці х₀ має вигляд :
$$y=f\left( {{x}_{\circ }} \right)+{f}'\left( {{x}_{\circ }} \right)\left( x-{{x}_{\circ }} \right) $$
У нашому випадку:
$$y=f\left( -1 \right)+{f}'\left( -1 \right)\left( x+1 \right) $$
Тоді
$$f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{2}}-2\left( -1 \right)=3, $$
$${f}'\left( x \right)=2x-2, $$
$${f}'\left( -1 \right)=2\left( -1 \right)-2=-4. $$
В кінцевому результаті
$$y=3-4\left( x+1 \right)=-4x-1. $$
Аналогічно знаходимо для інших функцій.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 12
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 12.
ВидалитиЗапиши рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x√x – x,
яка паралельна прямій y = 2x – 3 .
У відповідь запиши добуток координат точки дотичної , у якої ордината втричі більша від абсциси.
Доброго дня !
Якщо дотична до графіка функції f(x) = x√x – x паралельна прямій y = 2x – 3 , то їх кутові коефіцієнти однакові. Тобто f´(x₀) = 2.
Здійснимо перетворення над функцією:
$$f(x)=x\sqrt{x}-x=x\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}-x={{x}^{\frac{3}{2}}}-x. $$
Знайдемо її похідну:
$${f}'(x)={{\left( {{x}^{\frac{3}{2}}}-x \right)}^{\prime }}=\frac{3}{2}{{x}^{\frac{1}{2}}}-1=\frac{3}{2}\sqrt{x}-1. $$
Визначимо точку, в якій проведена похідна до функції.
$$\begin{align}
& \frac{3}{2}\sqrt{x}-1=2, \\
& \sqrt{x}=2, \\
& x=4. \\
\end{align}$$
Залишилося скласти рівняння дотичної і віднайти на ній потрібну точку .
Можна відповідь? Щоб звіритися
ВидалитиЦе можна зробити пройшовши тест.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 8
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 8.
ВидалитиВстанови відповідності між функціями та рівняннями їх дотичних, які проходять через точку х ₀ = π .
І) у = tgх ;
ІІ) у = х + tgх ;
ІІІ) у = x tgх ;
Відповіді: А) у = х – π ; Б) у = π (х – π) ; В) у = 2х – π; Г) у = 2(х – π);
Доброго дня !
Дане завдання аналогічне до завдання з тренувального модуля «М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8» і детально пояснено в коментарі №2 .
Якщо виникнуть певні труднощі при його розв’язанні повідомте про це додатково.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 9.
ВидалитиФункція задана формулою :
$$f(x)=\frac{x}{2}+2\cos x. $$
Знайди найбільше значення, яке може приймати похідна даної функції.
Доброго дня !
Знайдемо похідну даної функції:
$${f}'(x)={{\left( \frac{x}{2}+2\cos x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}-2\sin x. $$
Знайти найбільше значення отриманої функції тепер, гадаю, не складно, враховуючи, що -1≤ sinx≤ 1 .
Можна відповідь? Щоб звіритися
ВидалитиВ правильності відповіді можна пересвідчитися в процесі тестування, а коментарі носять суто консультативний характер.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 10.
ВидалитиРух матеріальної точки на координатній прямій задано рівнянням x(t) = t – cost , де час t - виражено в секундах, а координату x - в метрах. Через який час, від початку руху, тіло вперше зупиниться?
У відповідь запиши результат з точністю до десятих секунди.
Доброго дня !
Оскільки v(t) = x´(t) , то розв’язання даної задачі зводиться до знаходження найменшого додатного значення t₀ , при якому v(t₀) = 0.
Іншими словами, нам потрібно:
1. Знайти похідну функції x(t) відносно змінної t .
2. Прирівняти похідну до нуля і утворити тригонометричне рівняння .
3. Записати загальний розв’язок рівняння та вибрати з загальної сукупності коренів найменший додатній корінь t₀.
4. Знайти наближене значення кореня підставивши π = 3,14.
Пропоную ці кроки зробити самостійно.
Розкажіть детальніше про 3 пункт
ВидалитиПерегляньте тему "Тригонометричні рівняння". Там для кожного виду тригонометричного рівняння пропонується загальний розв'язок. Задаючи значення п = 0, 1, 2, ... ми знаходимо конкретні розв'язки.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 11
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 11.
ВидалитиРозв’яжи рівняння f(x) = f '(x) , якщо f(x) = sinx.
У відповідь запиши найменший додатний розв’язок рівняння, вважаючи, що π = 3,14.
Доброго дня !
Якщо f(x) = sinx, то f '(x) = cosx. Одержуємо тригонометричне рівняння : sinx = cosx.
Дане рівняння рівносильне рівнянню
$$\frac{\sin x}{\cos x}=1$$
або
$$tgx=1.$$
Запишемо загальний розв’язок рівняння:
$$x=\frac{\pi }{4}+n\pi. $$
Виберемо з нього найменший додатній:
$${{x}_{\circ }}=\frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}=0,785. $$
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 12
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 12.
ВидалитиЗапиши рівняння дотичної до графіка функції f(x) = cosx – sinx, яка проходить через точку х0 = 0.
У відповідь запиши площу трикутника утвореного дотичною та координатними осями.
Доброго дня !
В попередніх коментарях ми розглядали процес знаходження рівняння дотичної до графіка функції у заданій точці. Аналогічно знаходимо і рівняння дотичної до нашого графіка. Після чого знаходимо координати точок перетину графіка дотичної з координатними осями. Знайшовши ці точки обчислюємо площу запропонованого трикутника.
Як знаходити координати точок перетину графіка дотичної з координатними осями?
ВидалитиПри х = 0, при у = 0...
ВидалитиЯк знаходити площу трикутника?
ВидалитиЗверніться до дядечка Гугла з таким запитом: площа прямокутного трикутника.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 9.
ВидалитиЗнайди проміжки зростання функції :
$$y=\frac{{{x}^{2}}+4}{x}$$
У відповідь запиши найменше натуральне число, що входить в дані проміжки.
Доброго вечора !
Щоб встановити проміжки зростання функції, потрібно знайти проміжки на яких її похідна додатна.
Отже, знаходимо похідну функції:
$$\begin{align}
& {y}'=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}x-\left( {{x}^{2}}+4 \right){{x}^{\prime }}}{{{x}^{2}}}= \\
& \\
& =\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}} \\
\end{align}.$$
Розв’язуємо нерівність
$$\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}>0,$$
яка рівносильна нерівності
$${{x}^{2}}-4>0,\text{ }x\ne 0. $$
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 10.
ВидалитиЗнайди максимум функції f(x) = x³ + 3x² - 45x +18 .
Доброго вечора !
Максимум функції визначається за стандартною процедурою:
1. Знаходимо похідну функції.
2. Прирівнюємо похідну до нулю та знаходимо критичні точки функції.
3. Серед критичних точок вибираємо точку максимуму.
4. Обчислюємо значення функції в точці максимуму.
Пропоную зробити ці кроки самостійно.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 11
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 11.
ВидалитиЗнайди екстремум функції y = x + cosx на проміжку [-2π; 0].
У відповідь запиши значення виразу f(x₀)/π, де f(x₀) - знайдений екстремум.
Доброго вечора !
Тут використовуємо процедуру аналогічну до завдання 10 з даного модуля.Особливістю даного завдання є лише тригонометричне рівняння.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 12
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 12.
ВидалитиВкажи найбільше ціле значення змінної а , при якому рівняння х⁴ – 2х² – 3 = а не має коренів.
Доброго вечора !
Коротко про саму ідею розв’язування.
Пропоную розглянути дві функції у = х⁴ – 2х² – 3 і у = а .
Після чого побудувати графік функції у = х⁴ – 2х² – 3 та графічно побачити при яких значеннях параметра а графіки не будуть перетинатися. Зі всієї множини вибрати найбільше ціле значення змінної а.
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 7
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 10.
ВидалитиВстанови відповідності між функцією та найменшим її значенням, яке вона приймає на проміжку [–1; 1].
І) у = 2х – х² ;
ІІ) у = 3 – х² ;
ІІІ) у = 4х – х² ;
Варіанти відповідей : А) – 5 ; Б) 4 ; В) – 3 ; Г) 2 ;
Доброго вечора !
Для прикладу розглянемо функцію у = 4х – х².
Знайдемо похідну функції:
$${y}'={{\left( 4x-{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=4-2x.$$
Знайдемо критичну точку функції:
$$\begin{align}
& {y}'=0, \\
& 4-2x=0, \\
& x=2. \\
\end{align}$$
Знайдемо значення функції на кінцях відрізка, оскільки критична точка не попадає в заданий проміжок:
$$\begin{align}
& x=-1,\text{ }y=4-2\cdot (-1)=6, \\
& x=1,\text{ }y=4-2\cdot 1=2. \\
\end{align}$$
Аналогічним способом знаходимо найбільше і найменше значення для інших функцій.
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 8
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 8.
ВидалитиВкажи найменше значення для функції у = х(12 – х²) на кожному із заданих проміжків:
І) [1; 3] ;
ІІ) [–3;–1] ;
ІІІ) [–1; 1] .
Варіанти відповідей : А) 0 ; Б) – 9 ; В) 11 ; Г) 16 ;
Доброго вечора !
Робимо певні перетворення для функції:
$$y=x(12-{{x}^{2}})=12x-12{{x}^{2}}.$$
Знаходимо похідну функції:
$${y}'={{\left( 12x-12{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=12-24x$$
Прирівнюємо похідну функції до нуля і знаходимо критичні точки:
$$\begin{align}
& 12-24x=0, \\
& -24x=-12, \\
& x=0,5 \\
\end{align}$$
Знаходимо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці, якщо вона попадає в цей проміжок.
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 9.
ВидалитиНа проміжку [0; 3] вкажи найбільше значення функції:
$$y=\frac{9x}{{{x}^{2}}+1}. $$
Доброго вечора !
Процедура розв’язування даного завдання повністю подібна до попереднього завдання (№8).
Отож, пропоную зробити це самостійно.
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 11
ВідповістиВидалитиДоброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 12
ВідповістиВидалити