Тренувальні онлайн-тести з теми "Похідна та її застосування".
Тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функції:
Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій:
Тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної:
Тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції:
Інтегрований модуль з теми "1.3 Похідна та її застосування.10 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій загального доступу.
Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення, щодо тестових завдань, у яких можливо допущено помилку , не цілком зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування. Для цього достатньо вказати номер тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування. Після перевірки запиту це питання обов'язково буде розглянуто і проблемне завдання публічно прокоментовано.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 4
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 4
Знайти кут між дотичною, яка проведена до графіка функції у = x² в точці x₀= 0,5 , і додатним напрямом осі Ох.
Відповіді: А) 30° ; Б) 45° ; В) 60° ; Г) 90° .
Доброго дня !
Знаходимо похідну функції:
f′(x)=(x2)′=2x.
Беремо до уваги те, що за геометричним змістом похідної:
tgα=f′(x∘)=f′(0,5)=2⋅0,5=1
Залишилося з’ясувати тангенс якого кута дорівнює одиниці.
Видалити
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8.
Встанови відповідності між функціями та рівняннями їх дотичних, які проходять через точку х ₀ = – 1 .
І) у = х² – 2х ;
ІІ) у = х² – 2 ;
ІІІ) у = (х – 2)² ;
Відповіді: А) у= –5х – 2 ; Б) у= –6х + 3 ; В) у= –4х – 1 ; Г) у= –2х – 3 ;
Доброго дня !
Розглянемо одну з функцій, наприклад, у = х² – 2х.
Згадаємо, що рівняння дотичної до графіка в точці х₀ має вигляд :
y=f(x∘)+f′(x∘)(x−x∘)
У нашому випадку:
y=f(−1)+f′(−1)(x+1)
Тоді
f(−1)=(−1)2−2(−1)=3,
f′(x)=2x−2,
f′(−1)=2(−1)−2=−4.
В кінцевому результаті
y=3−4(x+1)=−4x−1.
Аналогічно знаходимо для інших функцій.
Видалити
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 12
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 12.
Запиши рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x√x – x,
яка паралельна прямій y = 2x – 3 .
У відповідь запиши добуток координат точки дотичної , у якої ордината втричі більша від абсциси.
Доброго дня !
Якщо дотична до графіка функції f(x) = x√x – x паралельна прямій y = 2x – 3 , то їх кутові коефіцієнти однакові. Тобто f´(x₀) = 2.
Здійснимо перетворення над функцією:
f(x)=x√x−x=x⋅x12−x=x32−x.
Знайдемо її похідну:
f′(x)=(x32−x)′=32x12−1=32√x−1.
Визначимо точку, в якій проведена похідна до функції.
32√x−1=2,√x=2,x=4.
Залишилося скласти рівняння дотичної і віднайти на ній потрібну точку .
Видалити
Можна відповідь? Щоб звіритися
ВидалитиЦе можна зробити пройшовши тест.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 8
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 8.
ВидалитиВстанови відповідності між функціями та рівняннями їх дотичних, які проходять через точку х ₀ = π .
І) у = tgх ;
ІІ) у = х + tgх ;
ІІІ) у = x tgх ;
Відповіді: А) у = х – π ; Б) у = π (х – π) ; В) у = 2х – π; Г) у = 2(х – π);
Доброго дня !
Дане завдання аналогічне до завдання з тренувального модуля «М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8» і детально пояснено в коментарі №2 .
Якщо виникнуть певні труднощі при його розв’язанні повідомте про це додатково.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 9.
Функція задана формулою :
f(x)=x2+2cosx.
Знайди найбільше значення, яке може приймати похідна даної функції.
Доброго дня !
Знайдемо похідну даної функції:
f′(x)=(x2+2cosx)′=12−2sinx.
Знайти найбільше значення отриманої функції тепер, гадаю, не складно, враховуючи, що -1≤ sinx≤ 1 .
Видалити
Можна відповідь? Щоб звіритися
ВидалитиВ правильності відповіді можна пересвідчитися в процесі тестування, а коментарі носять суто консультативний характер.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 10.
ВидалитиРух матеріальної точки на координатній прямій задано рівнянням x(t) = t – cost , де час t - виражено в секундах, а координату x - в метрах. Через який час, від початку руху, тіло вперше зупиниться?
У відповідь запиши результат з точністю до десятих секунди.
Доброго дня !
Оскільки v(t) = x´(t) , то розв’язання даної задачі зводиться до знаходження найменшого додатного значення t₀ , при якому v(t₀) = 0.
Іншими словами, нам потрібно:
1. Знайти похідну функції x(t) відносно змінної t .
2. Прирівняти похідну до нуля і утворити тригонометричне рівняння .
3. Записати загальний розв’язок рівняння та вибрати з загальної сукупності коренів найменший додатній корінь t₀.
4. Знайти наближене значення кореня підставивши π = 3,14.
Пропоную ці кроки зробити самостійно.
Розкажіть детальніше про 3 пункт
ВидалитиПерегляньте тему "Тригонометричні рівняння". Там для кожного виду тригонометричного рівняння пропонується загальний розв'язок. Задаючи значення п = 0, 1, 2, ... ми знаходимо конкретні розв'язки.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 11
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 11.
Розв’яжи рівняння f(x) = f '(x) , якщо f(x) = sinx.
У відповідь запиши найменший додатний розв’язок рівняння, вважаючи, що π = 3,14.
Доброго дня !
Якщо f(x) = sinx, то f '(x) = cosx. Одержуємо тригонометричне рівняння : sinx = cosx.
Дане рівняння рівносильне рівнянню
sinxcosx=1
або
tgx=1.
Запишемо загальний розв’язок рівняння:
x=π4+nπ.
Виберемо з нього найменший додатній:
x∘=π4=3,144=0,785.
Видалити
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 12
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 12.
ВидалитиЗапиши рівняння дотичної до графіка функції f(x) = cosx – sinx, яка проходить через точку х0 = 0.
У відповідь запиши площу трикутника утвореного дотичною та координатними осями.
Доброго дня !
В попередніх коментарях ми розглядали процес знаходження рівняння дотичної до графіка функції у заданій точці. Аналогічно знаходимо і рівняння дотичної до нашого графіка. Після чого знаходимо координати точок перетину графіка дотичної з координатними осями. Знайшовши ці точки обчислюємо площу запропонованого трикутника.
Як знаходити координати точок перетину графіка дотичної з координатними осями?
ВидалитиПри х = 0, при у = 0...
ВидалитиЯк знаходити площу трикутника?
ВидалитиЗверніться до дядечка Гугла з таким запитом: площа прямокутного трикутника.
ВидалитиДобрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 9.
Знайди проміжки зростання функції :
y=x2+4x
У відповідь запиши найменше натуральне число, що входить в дані проміжки.
Доброго вечора !
Щоб встановити проміжки зростання функції, потрібно знайти проміжки на яких її похідна додатна.
Отже, знаходимо похідну функції:
y′=(x2+4)′x−(x2+4)x′x2==2x2−x2−4x2=x2−4x2.
Розв’язуємо нерівність
x2−4x2>0,
яка рівносильна нерівності
x2−4>0, x≠0.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 10
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 10.
ВидалитиЗнайди максимум функції f(x) = x³ + 3x² - 45x +18 .
Доброго вечора !
Максимум функції визначається за стандартною процедурою:
1. Знаходимо похідну функції.
2. Прирівнюємо похідну до нулю та знаходимо критичні точки функції.
3. Серед критичних точок вибираємо точку максимуму.
4. Обчислюємо значення функції в точці максимуму.
Пропоную зробити ці кроки самостійно.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 11
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 11.
ВидалитиЗнайди екстремум функції y = x + cosx на проміжку [-2π; 0].
У відповідь запиши значення виразу f(x₀)/π, де f(x₀) - знайдений екстремум.
Доброго вечора !
Тут використовуємо процедуру аналогічну до завдання 10 з даного модуля.Особливістю даного завдання є лише тригонометричне рівняння.
Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 12
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 12.
ВидалитиВкажи найбільше ціле значення змінної а , при якому рівняння х⁴ – 2х² – 3 = а не має коренів.
Доброго вечора !
Коротко про саму ідею розв’язування.
Пропоную розглянути дві функції у = х⁴ – 2х² – 3 і у = а .
Після чого побудувати графік функції у = х⁴ – 2х² – 3 та графічно побачити при яких значеннях параметра а графіки не будуть перетинатися. Зі всієї множини вибрати найбільше ціле значення змінної а.
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 7
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 10.
Встанови відповідності між функцією та найменшим її значенням, яке вона приймає на проміжку [–1; 1].
І) у = 2х – х² ;
ІІ) у = 3 – х² ;
ІІІ) у = 4х – х² ;
Варіанти відповідей : А) – 5 ; Б) 4 ; В) – 3 ; Г) 2 ;
Доброго вечора !
Для прикладу розглянемо функцію у = 4х – х².
Знайдемо похідну функції:
y′=(4x−x2)′=4−2x.
Знайдемо критичну точку функції:
y′=0,4−2x=0,x=2.
Знайдемо значення функції на кінцях відрізка, оскільки критична точка не попадає в заданий проміжок:
x=−1, y=4−2⋅(−1)=6,x=1, y=4−2⋅1=2.
Аналогічним способом знаходимо найбільше і найменше значення для інших функцій.Видалити
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 8
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 8.
Вкажи найменше значення для функції у = х(12 – х²) на кожному із заданих проміжків:
І) [1; 3] ;
ІІ) [–3;–1] ;
ІІІ) [–1; 1] .
Варіанти відповідей : А) 0 ; Б) – 9 ; В) 11 ; Г) 16 ;
Доброго вечора !
Робимо певні перетворення для функції:
y=x(12−x2)=12x−12x2.
Знаходимо похідну функції:
y′=(12x−12x2)′=12−24x
Прирівнюємо похідну функції до нуля і знаходимо критичні точки:
12−24x=0,−24x=−12,x=0,5
Знаходимо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці, якщо вона попадає в цей проміжок.
Видалити
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 9
ВідповістиВидалитиТренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 9.
На проміжку [0; 3] вкажи найбільше значення функції:
y=9xx2+1.
Доброго вечора !
Процедура розв’язування даного завдання повністю подібна до попереднього завдання (№8).
Отож, пропоную зробити це самостійно.
Видалити
Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 11
ВідповістиВидалитиДоброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 12
ВідповістиВидалити