пʼятниця, 12 квітня 2019 р.

1.3 Похідна та її застосування. 10 клас

Тренувальні онлайн-тести  з теми  "Похідна та її застосування".

Тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функції:

Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій:

Тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної:

Тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції:

Інтегрований модуль з теми "1.3 Похідна та її застосування.10 клас " опублікований на сайті Online Test Pad. Посилання для нього можна знайти і на авторські сторінці публікацій  загального доступу.

 Увага !!! В коментарях можна залишати свої повідомлення,  щодо тестових завдань, у яких можливо допущено помилку , не цілком  зрозумілий зміст, виникають значні труднощі під час їх розв'язування. Для цього достатньо вказати номер  тесту і номер завдання та описати проблему, яку виявлено у процесі розв'язування.  Після  перевірки запиту це питання обов'язково буде  розглянуто і проблемне  завдання  публічно прокоментовано.

42 коментарі:

  1. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 4

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 4

      Знайти кут між дотичною, яка проведена до графіка функції у = x² в точці x₀= 0,5 , і додатним напрямом осі Ох.

      Відповіді: А) 30° ; Б) 45° ; В) 60° ; Г) 90° .

      Доброго дня !
      Знаходимо похідну функції:
      $${f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=2x. $$
      Беремо до уваги те, що за геометричним змістом похідної:
      $$tg\alpha ={f}'({{x}_{\circ }})={f}'(0,5)=2\cdot 0,5=1$$
      Залишилося з’ясувати тангенс якого кута дорівнює одиниці.

      Видалити
  2. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8.

      Встанови відповідності між функціями та рівняннями їх дотичних, які проходять через точку х ₀ = – 1 .

      І) у = х² – 2х ;
      ІІ) у = х² – 2 ;
      ІІІ) у = (х – 2)² ;

      Відповіді: А) у= –5х – 2 ; Б) у= –6х + 3 ; В) у= –4х – 1 ; Г) у= –2х – 3 ;

      Доброго дня !

      Розглянемо одну з функцій, наприклад, у = х² – 2х.
      Згадаємо, що рівняння дотичної до графіка в точці х₀ має вигляд :
      $$y=f\left( {{x}_{\circ }} \right)+{f}'\left( {{x}_{\circ }} \right)\left( x-{{x}_{\circ }} \right) $$
      У нашому випадку:
      $$y=f\left( -1 \right)+{f}'\left( -1 \right)\left( x+1 \right) $$
      Тоді
      $$f\left( -1 \right)={{\left( -1 \right)}^{2}}-2\left( -1 \right)=3, $$
      $${f}'\left( x \right)=2x-2, $$
      $${f}'\left( -1 \right)=2\left( -1 \right)-2=-4. $$
      В кінцевому результаті
      $$y=3-4\left( x+1 \right)=-4x-1. $$

      Аналогічно знаходимо для інших функцій.

      Видалити
  3. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 12

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 12.

      Запиши рівняння дотичної до графіка функції f(x) = x√x – x,
      яка паралельна прямій y = 2x – 3 .

      У відповідь запиши добуток координат точки дотичної , у якої ордината втричі більша від абсциси.

      Доброго дня !

      Якщо дотична до графіка функції f(x) = x√x – x паралельна прямій y = 2x – 3 , то їх кутові коефіцієнти однакові. Тобто f´(x₀) = 2.

      Здійснимо перетворення над функцією:
      $$f(x)=x\sqrt{x}-x=x\cdot {{x}^{\frac{1}{2}}}-x={{x}^{\frac{3}{2}}}-x. $$

      Знайдемо її похідну:
      $${f}'(x)={{\left( {{x}^{\frac{3}{2}}}-x \right)}^{\prime }}=\frac{3}{2}{{x}^{\frac{1}{2}}}-1=\frac{3}{2}\sqrt{x}-1. $$
      Визначимо точку, в якій проведена похідна до функції.
      $$\begin{align}
      & \frac{3}{2}\sqrt{x}-1=2, \\
      & \sqrt{x}=2, \\
      & x=4. \\
      \end{align}$$
      Залишилося скласти рівняння дотичної і віднайти на ній потрібну точку .

      Видалити
    2. Можна відповідь? Щоб звіритися

      Видалити
    3. Це можна зробити пройшовши тест.

      Видалити
  4. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 8

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 8.

      Встанови відповідності між функціями та рівняннями їх дотичних, які проходять через точку х ₀ = π .

      І) у = tgх ;
      ІІ) у = х + tgх ;
      ІІІ) у = x tgх ;

      Відповіді: А) у = х – π ; Б) у = π (х – π) ; В) у = 2х – π; Г) у = 2(х – π);

      Доброго дня !
      Дане завдання аналогічне до завдання з тренувального модуля «М_10.131 Похідні степеневих функцій. Завдання 8» і детально пояснено в коментарі №2 .
      Якщо виникнуть певні труднощі при його розв’язанні повідомте про це додатково.

      Видалити
  5. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 9

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 9.

      Функція задана формулою :
      $$f(x)=\frac{x}{2}+2\cos x. $$
      Знайди найбільше значення, яке може приймати похідна даної функції.

      Доброго дня !

      Знайдемо похідну даної функції:
      $${f}'(x)={{\left( \frac{x}{2}+2\cos x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{2}-2\sin x. $$
      Знайти найбільше значення отриманої функції тепер, гадаю, не складно, враховуючи, що -1≤ sinx≤ 1 .

      Видалити
    2. Можна відповідь? Щоб звіритися

      Видалити
    3. В правильності відповіді можна пересвідчитися в процесі тестування, а коментарі носять суто консультативний характер.

      Видалити
  6. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 10.

      Рух матеріальної точки на координатній прямій задано рівнянням x(t) = t – cost , де час t - виражено в секундах, а координату x - в метрах. Через який час, від початку руху, тіло вперше зупиниться?

      У відповідь запиши результат з точністю до десятих секунди.

      Доброго дня !

      Оскільки v(t) = x´(t) , то розв’язання даної задачі зводиться до знаходження найменшого додатного значення t₀ , при якому v(t₀) = 0.
      Іншими словами, нам потрібно:
      1. Знайти похідну функції x(t) відносно змінної t .
      2. Прирівняти похідну до нуля і утворити тригонометричне рівняння .
      3. Записати загальний розв’язок рівняння та вибрати з загальної сукупності коренів найменший додатній корінь t₀.
      4. Знайти наближене значення кореня підставивши π = 3,14.

      Пропоную ці кроки зробити самостійно.

      Видалити
    2. Розкажіть детальніше про 3 пункт

      Видалити
    3. Перегляньте тему "Тригонометричні рівняння". Там для кожного виду тригонометричного рівняння пропонується загальний розв'язок. Задаючи значення п = 0, 1, 2, ... ми знаходимо конкретні розв'язки.

      Видалити
  7. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 11

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 11.

      Розв’яжи рівняння f(x) = f '(x) , якщо f(x) = sinx.
      У відповідь запиши найменший додатний розв’язок рівняння, вважаючи, що π = 3,14.

      Доброго дня !
      Якщо f(x) = sinx, то f '(x) = cosx. Одержуємо тригонометричне рівняння : sinx = cosx.

      Дане рівняння рівносильне рівнянню
      $$\frac{\sin x}{\cos x}=1$$
      або
      $$tgx=1.$$

      Запишемо загальний розв’язок рівняння:
      $$x=\frac{\pi }{4}+n\pi. $$

      Виберемо з нього найменший додатній:
      $${{x}_{\circ }}=\frac{\pi }{4}=\frac{3,14}{4}=0,785. $$

      Видалити
  8. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 12

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.132 Похідні тригонометричних функцій. Завдання 12.

      Запиши рівняння дотичної до графіка функції f(x) = cosx – sinx, яка проходить через точку х0 = 0.

      У відповідь запиши площу трикутника утвореного дотичною та координатними осями.

      Доброго дня !
      В попередніх коментарях ми розглядали процес знаходження рівняння дотичної до графіка функції у заданій точці. Аналогічно знаходимо і рівняння дотичної до нашого графіка. Після чого знаходимо координати точок перетину графіка дотичної з координатними осями. Знайшовши ці точки обчислюємо площу запропонованого трикутника.

      Видалити
    2. Як знаходити координати точок перетину графіка дотичної з координатними осями?

      Видалити
    3. Як знаходити площу трикутника?

      Видалити
    4. Зверніться до дядечка Гугла з таким запитом: площа прямокутного трикутника.

      Видалити
  9. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 9

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 9.

      Знайди проміжки зростання функції :
      $$y=\frac{{{x}^{2}}+4}{x}$$
      У відповідь запиши найменше натуральне число, що входить в дані проміжки.

      Доброго вечора !
      Щоб встановити проміжки зростання функції, потрібно знайти проміжки на яких її похідна додатна.

      Отже, знаходимо похідну функції:
      $$\begin{align}
      & {y}'=\frac{{{\left( {{x}^{2}}+4 \right)}^{\prime }}x-\left( {{x}^{2}}+4 \right){{x}^{\prime }}}{{{x}^{2}}}= \\
      & \\
      & =\frac{2{{x}^{2}}-{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}} \\
      \end{align}.$$
      Розв’язуємо нерівність
      $$\frac{{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}}>0,$$
      яка рівносильна нерівності
      $${{x}^{2}}-4>0,\text{ }x\ne 0. $$

      Видалити
  10. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 10

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 10.

      Знайди максимум функції f(x) = x³ + 3x² - 45x +18 .

      Доброго вечора !

      Максимум функції визначається за стандартною процедурою:
      1. Знаходимо похідну функції.
      2. Прирівнюємо похідну до нулю та знаходимо критичні точки функції.
      3. Серед критичних точок вибираємо точку максимуму.
      4. Обчислюємо значення функції в точці максимуму.

      Пропоную зробити ці кроки самостійно.

      Видалити
  11. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 11

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 11.

      Знайди екстремум функції y = x + cosx на проміжку [-2π; 0].
      У відповідь запиши значення виразу f(x₀)/π, де f(x₀) - знайдений екстремум.

      Доброго вечора !
      Тут використовуємо процедуру аналогічну до завдання 10 з даного модуля.Особливістю даного завдання є лише тригонометричне рівняння.

      Видалити
  12. Добрий день)) Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.133 Застосування похідної. Завдання 12

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_10.123. Застосування похідної. Завдання 12.

      Вкажи найбільше ціле значення змінної а , при якому рівняння х⁴ – 2х² – 3 = а не має коренів.

      Доброго вечора !

      Коротко про саму ідею розв’язування.
      Пропоную розглянути дві функції у = х⁴ – 2х² – 3 і у = а .
      Після чого побудувати графік функції у = х⁴ – 2х² – 3 та графічно побачити при яких значеннях параметра а графіки не будуть перетинатися. Зі всієї множини вибрати найбільше ціле значення змінної а.

      Видалити
  13. Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 7

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 10.

      Встанови відповідності між функцією та найменшим її значенням, яке вона приймає на проміжку [–1; 1].

      І) у = 2х – х² ;
      ІІ) у = 3 – х² ;
      ІІІ) у = 4х – х² ;

      Варіанти відповідей : А) – 5 ; Б) 4 ; В) – 3 ; Г) 2 ;

      Доброго вечора !
      Для прикладу розглянемо функцію у = 4х – х².

      Знайдемо похідну функції:
      $${y}'={{\left( 4x-{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=4-2x.$$

      Знайдемо критичну точку функції:
      $$\begin{align}
      & {y}'=0, \\
      & 4-2x=0, \\
      & x=2. \\
      \end{align}$$

      Знайдемо значення функції на кінцях відрізка, оскільки критична точка не попадає в заданий проміжок:

      $$\begin{align}
      & x=-1,\text{ }y=4-2\cdot (-1)=6, \\
      & x=1,\text{ }y=4-2\cdot 1=2. \\
      \end{align}$$
      Аналогічним способом знаходимо найбільше і найменше значення для інших функцій.

      Видалити
  14. Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 8

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 8.

      Вкажи найменше значення для функції у = х(12 – х²) на кожному із заданих проміжків:

      І) [1; 3] ;
      ІІ) [–3;–1] ;
      ІІІ) [–1; 1] .

      Варіанти відповідей : А) 0 ; Б) – 9 ; В) 11 ; Г) 16 ;

      Доброго вечора !

      Робимо певні перетворення для функції:
      $$y=x(12-{{x}^{2}})=12x-12{{x}^{2}}.$$
      Знаходимо похідну функції:
      $${y}'={{\left( 12x-12{{x}^{2}} \right)}^{\prime }}=12-24x$$
      Прирівнюємо похідну функції до нуля і знаходимо критичні точки:
      $$\begin{align}
      & 12-24x=0, \\
      & -24x=-12, \\
      & x=0,5 \\
      \end{align}$$
      Знаходимо значення функції на кінцях проміжку і в критичній точці, якщо вона попадає в цей проміжок.

      Видалити
  15. Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 9

    ВідповістиВидалити
    Відповіді
    1. Тренувальний модуль М_11.134. Найбільше і найменше значення функції. Завдання 9.

      На проміжку [0; 3] вкажи найбільше значення функції:
      $$y=\frac{9x}{{{x}^{2}}+1}. $$

      Доброго вечора !
      Процедура розв’язування даного завдання повністю подібна до попереднього завдання (№8).

      Отож, пропоную зробити це самостійно.

      Видалити
  16. Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 11

    ВідповістиВидалити
  17. Доброго дня)))Допоможіть зробити тренувальний модуль М_10.134 Найбільше і найменше значення функції. Завдання 12

    ВідповістиВидалити